Mengenlehre Frage?
Wie kann ich das in der Mengenlehre beweisen bzw wie geht man bei so etwas hervor? (M N O sind mengen)
2 Antworten
Mengengleichheit beweist du durch erst beweisen, dass das linke Teilmenge vom rechten ist und dann, dass das rechte TM vom linken ist. (Außer man möchte mit Äquivalenzen statt Implikationen arbeiten)
Außerdem in dem man es in Aussagenlogik umformt:
Sei x element der linken Menge
Daraus folgt... (Definition von Komplement und Schnitt einsetzten)
Daraus folgt... (umformen)
Daraufs folgt Definition der rechten Seite
Und dann nochmal anders rum
Als Ergänzung ein paar Definition
A Teilmenge B: x elem A => x elem B
A geschn. B: x elem A gesch B <=> x elem A und x elem B
A \ B: x elem A \ B <=> x elem A und x nicht elem B
Hattet ihr aber bestimmt auch
Das hatte ich ja darunter beschrieben. Etwas ausführlicher:
Du willst beweisen, dass jedes Element das sich in der linken Menge befindet auch in der rechten ist.
Also: "Sei x Element M\(N ^ O)".
<=>
(x Element M UND x nicht Element O)
=>
Entweder (x Element M und X nicht Element O) oder (x Element M\N und X nicht element N) oder beides
Denn wir wussten ja schon darüber, dass es auf jeden Fall in der ersten Klammer ist, also auch in der Vereinigung
=> x Element (M\N) U (M\O)
Das kursive ist nicht Teil vom Beweis.
Da für ein beliebiges x (keine Einschränkungen bzgl welches) aus der linken Menge gezeigt wurde, dass es auf jeden Fall in der rechten ist, ist das linke per Def eine TM des rechten
Sorry, nochmal neu, konnte es nicht mehr bearbeiten
Das hatte ich ja darunter beschrieben. Etwas ausführlicher:
Du willst beweisen, dass jedes Element das sich in der linken Menge befindet auch in der rechten ist.
Also: "Sei x Element M\(N ^ O)".
=> | Definition
(x Element M und x nicht Element N^O)
<=> | Definition
(x Element M und nicht (x Element N und x Element O))
<=> | Distributivgesetz
(x Element M und x nicht Element N) oder (x Element M und x nicht Element O)
Da für ein beliebiges x (keine Einschränkungen bzgl welches) aus der linken Menge gezeigt wurde, dass es auf jeden Fall in der rechten ist, ist das linke per Def eine TM des rechten
(Wie du siehst sind das alles auch Äquivalenzen, aber man ist auf der sicheren Seite wenn man es als Implikationen macht.)
Was für Fälle gibt es?
- Elemente, die in M, aber nicht in N oder O sind
- Elemente, din in M und N, aber nicht in O sind
- etc.
Diese Fälle unterscheidest du halt und zeigst in jedem Fall, dass das zu Zeigende gilt.
Und wie beweise ich dass das linke beispielsweise Teilmenge vom rechten ist?