Magnetfeld stromdurchflossener Leiter?

Die in der Übung zu dieser Aufgabe erarbeitete Lösung lautet:

Müsste nach dieser Rechnung auf der rechten Seite im letzten Integral nicht 1/y*dα stehen?

Und unabhängig davon, wenn man das ganze mit dem Gaußschen Satz überprüft, müsste doch B=μ₀I/2πr , wobei r=x rauskommen, oder kann man den hier nicht so einfach anwenden?

Answer 1

[Clemens1973]

Nein, die Lösung ist m.E. richtig. Es gilt r=y/cos(alpha), also

$\int\limits_0^\infty\frac{y}{r^3}\,\mathrm{d}l=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{y^2}{r^3\cos^2\alpha}\,\mathrm{d}\alpha=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1}{r}\,\mathrm{d}\alpha=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\cos\alpha}{y}\,\mathrm{d}\alpha=\frac{1}{y}$

Und unabhängig davon, wenn man das ganze mit dem Gaußschen Satz überprüft, müsste doch B=μ₀I/2πr , wobei r=x rauskommen, oder kann man den hier nicht so einfach anwenden?

Du meinst das Ampèresche Gesetz? Es ergibt sich hier nur das halbe Magnetfeld, da ein Strom von 0 bis unendlich betrachtet wird, was natürlich eine theoretische Anordnung ist. Würde man über die ganze x-Achse integrieren, ergäbe sich das Magnetfeld, wie man es auch über das Ampèresche Gesetz erhält.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[DrNumerus]

Den Gauß'schen Satz und die Maxwell Gleichungen kannst du in diesem Kontext nur Anwenden, wenn du das Verhalten des Feldes entlang der Integrationskontur kennst. In aller Regel aufgrund von Symmetrie, wofür du in beide Richtungen gleichermaßen oder unendlich ausgedehnte Stromleitungen brauchst. Laut Aufgabe soll der Strom aber im Ursprung beginnen und läuft dann bis ins Unendliche in x-Richtung.

Das Differential in der Formel wird folgendermaßen hergeleitet:

$\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{e}_r=\mathrm{d}l\cdot1\cdot\sin\left(\vartheta\right)\cdot\vec{e}_z=\mathrm{d}l\cdot\frac{y}{r}\cdot\vec{e}_z$

Wobei laut Kreuzprodukt theta der Winkel zwischen l und r ist. Wegen der Richtungsdefinition ist das der größere Winkel zwischen der Hypothenuse des Dreiecks und der x-Achse. Durch Trigonometrie sieht man dann

$\vartheta=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha\right)=90^{\circ}+\alpha$

$\Rightarrow\ \sin\left(\vartheta\right)=\cos\left(\alpha\right)=\frac{y}{r}$

was hier verwendet wurde. Dann setzt man die Beziehung von dl in das gesamte Integral ein:

$\int\frac{y}{r^3}\mathrm{d}l\cdot\vec{e}_z=\int\frac{y}{r^3}\cdot\frac{y}{\cos^2\left(\alpha\right)}\mathrm{d}\alpha\cdot\vec{e}_z=\int\frac{1}{y}\cdot\frac{y^3}{r^3}\cdot\frac{1}{\cos^2\left(\alpha\right)}\mathrm{d}\alpha\cdot\vec{e}_z$

Wobei hier im letzten Schritt mit y erweitert wurde. Jetzt nutzt man noch einmal cos(alpha)=y/r und bekommt

$\Rightarrow\ \int\frac{1}{y}\frac{\cos^3\left(\alpha\right)}{\cos^2\left(\alpha\right)}\mathrm{d\alpha\cdot\vec{e}_z}$

und nach dem Kürzen der Cosinus Funktionen steht das Ergebnis da was auch in der Lösung steht.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik Studium - Master in theoretischer Physik