Kann man eine deutsche American Express Karte bei einem Umzug ins Ausland problemlos mitnehmen?

Wenn das Konto von dem abgebucht wird, bestehen bleibt, kann man auch die Karte behalten. SEPA Abbuchungen sind nur in einem Land möglich. 

Ansonsten kann es sinnvoll sein, mehrere Karten zu haben, einmal mit Abrechnung in Landeswährung und einmal mit Zugriff auf das Euro-Konto in Deutschland .. es kann auch sein, dass man im neuen Land zuest keinen Kreditrahmen bekommt, da wäre es auch sinnvoll, die alter Karte erst mal zu behalten.

Nur wenn du weiterhin einen deutschen Wohnsitz hast

Ich würde nie mit Amex auf der Welt Reisen ist sogar schlechter als Maestro

Nein. Die Karte ist bei Amex D. Musst du im Ausland neu beantragen

Bei Payback Amex wird Wohnsitz in Deutschland verlangt. Bei der Green card oder Gold Card würde ich nachfragen. Im jedem Fall muss Abbuchung dann weiter über deutsches Konto erfolgen.