Kann man ein Schrank nur mit einem Schraubendreher bauen?

Nein, man braucht das Holz dazu.

Nein, da man das Holz zuschneiden muß. Auch würde es etwas schwer sein, die Sachen ohne vorherige Bohrung zu verschrauben. Aber das wäre noch machbar.

Höchstens gewisse fertige Schrankbausätze vom Discounter.

Das kommt darauf an, was benötigt werden. Kreuzschlitz, Schraubenzieher, Inbusschlüssel oder anderes.

Du kannst einen Schrank mit einen Schraubendreher aufbauen, aber um ihn herzustellen bedarf es etwas mehr Werkzeug.