ist diese Funktion auch beschränkt?

Hallo liebe community,

was ist, wenn f und g beschränkte Funktionen sind, ist dann f+g auch beschränkt? Nehmen wir an f(x)=x und g(x)=-x sind. Beide sollen im Intervall (0,1) beobachtet werden. Wenn man f(x)+g(x) addiert, erhält man (f+g)(x)=0. Ist dann diese Funktion beschränkt? Sie hat doch nur den Funktionswert 0, also es gibt weder ein maximum noch ein minimum?

Answer 1

[RitterToby08]

Ja das gilt! Warum dein Beispiel kein Gegenbeispiel ist, wurde bereits erklärt. Vielleicht hier noch eine etwas formalere Antwort.

$Seien\ f,g:\ X\rightarrow\mathbb{R}\ \left(X\subseteq\mathbb{R}\right)\ beschränkt.\ D.h.:$

$\exists N,M\in\mathbb{R}:\forall x\in X:\ \left(\mid f\left(x\right)\mid\le N\ \wedge\mid g\left(x\right)\mid\le M\right)$ $\Rightarrow\forall x\in X:\ \mid f\left(x\right)+g\left(x\right)\mid\le\mid f\left(x\right)\mid+\mid g\left(x\right)\mid\le N+M$ Wobei die erste Ungleichung die Dreiecksungleichung ist. D.h. auch f+g ist beschränkt.

Answer 2

[FouLou]

Sie hat doch nur den Funktionswert 0, also es gibt weder ein maximum noch ein minimum?

Denke schon. Beides ist 0 XD

Beschränkt heisst ja nur das die Funktion im engeschauten bereich nicht ins unendlich abhaut. Sondern eben je einen wert hat den sie nicht über und unterschreitet.

In dem falle hat die funktion f(x) = 0 das. Denn sich überschreitet 0 nicht und unterschreitet null auch nicht.

Generelll würde ich sagen: Ja wenn man 2 beschränkte funktionen addiert erhält man wieder eine Beschränkte funktion.

Denn die addition kann ja so gesehen werden das man für jedes x die y werte addiert.

Was bedeutet wenn beide ein maximum und minimum haben. Dann kann die summe von beiden nicht einfach ins unendlich abhauen. Weil der worst case der passieren kann ist das sich 2 maxima oder minima addieren. Die geben aber wiederum einen endlichen wert zurück.