Homomorphismus zwischen Vektorräumen Beweis?

Meine Übungsgruppe und ich scheitern aktuell an einer Übungsaufgabe, welche Vorbereitung für die nächste Klausur ist.

Da wir alle keinen Ansatz finden, würden wir uns sehr über Hilfe freuen!

Answer 1

[RitterToby08]

Damit f^-1(U) (Urbild) ein Untervektorraum (UVR) von V ist muss folgendes gezeigt werden:

$1.\ f^{-1}\left(U\right)\ne\varnothing$ $2.\ \forall v,u\in f^{-1}\left(U\right):\ u+v\in f^{-1}\left(U\right)$ $3.\ \forall\alpha\in\text{K}\forall u\in f^{-1}\left(U\right):\ \alpha\cdot u\in f^{-1}\left(U\right)$ Bei der ersten Eigenschaft ist es oft hilfreich zu zeigen, dass die 0 enthalten ist (falls nicht kann es kein UVR mehr sein).

2. werde ich nun vormachen:

$Seien\ u,w\in f^{-1}\left(U\right)=\left\{v\in V\ :\ f\left(v\right)\in U\right\}$ Wir müssen überprüfen, ob f(u+w) auch in U liegt, denn dann liegt u+w im Urbild. Es gilt:

$f\left(u+w\right)=f\left(u\right)+f\left(w\right)$ Hier wurde benutzt, dass f ein Homomorphismus ist. Da f(u) und f(w) in U liegen (da u und w im Urbild) und U ein UVR ist, liegt auch f(u)+f(w) in U. Damit ist u+w im Urbild. Wir haben nun 2. gezeigt.

Die 3. Eigenschaft wird sehr ähnlich bewiesen.

Answer 2

[CKH1981]

Hilft Euch das?

Woher ich das weiß: Berufserfahrung