Frage zur Flächenänderung einer Kugel (Young-Laplace)?

Ich verstehe die Herleitung der Young Laplace Gleichung auf Wikipedia nicht https://de.wikipedia.org/wiki/Young-Laplace-Gleichung).

Dort wird die Flächenänderung einer Kugel zu dA=8*pi*r*dr erklärt.

Aber wenn eine Kugel mit der Fläche A=4*pi*r^2 eine Vergrößerung durch Änderung des Radius erfährt, komme ich auf eine Flächenänderung von dA=4*pi*dr*(2r+dr).

Beispiel Kugel mit Radius r = 10 cm wird um dr = 2cm vergrößert:

A_{vorher} = 4*pi*10^2= 400*pi

A_{nachher} = 4*pi*(10+2)^2= 576*pi

=> dA = A_{nachher} - A_{vorher} = 576-400 = 176*pi

Aber mit der Formel in Wikipedia kommt man auf: dA=8*pi*10*2=160*pi

Habe ich etwas gesehen oder gibt es einen Fehler?

Answer 1

[ChrisGE1267]

Es gilt:

A = 4pi r^2, somit für das differentielle Flächenelement:

dA = A‘(r) dr = 4 pi d (r^2)/dr dr = 4 pi * 2r dr = 8 pi r dr

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 2

[Schachpapa]

$A\left(r\right)\ =\ 4\ \pi\ r^2$ $A'\left(r\right)\ =\frac{dA}{dr}=8\ \pi\ r$

Siehst du es?

Edit:

Es geht um die momentane Änderungsrate (Ableitung). dr ist infinitesimal klein. Bei deinem Beispiel hast du eine Änderung um 20%, das ist relativ viel