Exponenzielles Wachstum?
Kann mir jemand beim lösen dieser Aufgabe helfen?
Ich verstehe das Thema nicht so ganz und auf YouTube helfen mir die Videos auch nicht weiter
2 Antworten
Bei Aufgabe a) solltest du die Ziffern 2 und 3 können, das steht quasi im Text.
Weil es verdreifacht sich ja in einer Woche
Genau. Damit hast du den gesuchten Faktor bei (2) gefunden.
(3) ist auch nicht schwer: Ein Monat hat 4 Wochen, also hast du 4 Verdreifachungen. Welcher Faktor ist das?
Mein Ansatz dazu war dass es ja in 7 Tagen um 4m² wächst und es dann an einem Tag um 4/7 m² wachsen müsste
Das wäre richtig, wenn jeden Tag die gleiche Menge dazukäme. Bei natürlichen Wachstumsvorgängen kommt aber umso mehr dazu, je mehr schon da ist, weil jede neue Algenzelle ihrerseits wieder neue Zellen hervorbringt. Aus 2 m² werden in einer Woche 6 m², aus 1 m² werden 3 m², aus 10 cm² werden 30 cm². Wenn das nicht durch andere Einflüsse (z.B. die Größe des Teichs) eingeschränkt wird, geht das immer so weiter.
Da ist ein Faktor (also etwas zum Malnehmen) gesucht.
Okay Aufgabe 1 habe ich damit verstanden, aber bei Aufhabe 2 hört schon wieder auf. Ich hätte jetzt diesen Ansatz verfolgt:
f(x) = 2 * 3/7 hoch 10
f (x) = 2 * 3/7 hoch 20
also startwert mal Basis hoch die Anzahl der tage
aber das Ergebnis sieht nicht richtig aus
Der Faktor 3/7 (drei Siebtel) ist falsch. Du suchst die Zahl, die 7 Mal mit sich selbst malgenommen (nicht addiert!) 3 ergibt. Die Zahl muss größer sein als 1, sonst ist es kein Wachstumsfaktor, sondern ein Schrumpffaktor.
Naja. Oder du schreibst einfach die andere Lösung ab.
Ich verstehe es nicht. Ich habe ja nur die Info dass der Wachstumsfaktor für eine Woche 3 ist, wie soll ich daraus den täglichen bekommen
7 Mal mit sich selbst malgenommen muss 3 herauskommen:
x * x * x * x * x * x * x = 3
oder auch x^7 = 3
Wie kommt jetzt auf x?
(Hinweis: wenn da stünde x² = 3, was wäre dann x? Und bei x³ = 3?)
Zunächst müssen Sie sich auf eine Zeiteinheit einigen, Tage, Wochen oder Monate. Meistens ist es am sinnvollsten, wenn man sich für die kleinste Einheit entscheidet, in diesem Fall Tage, da man diese leicht in andere Einheiten umrechnen kann. Legen Sie eine Tabelle an, in der Sie die Werte eintragen, die Sie schon kennen:
Zeit in Tagen - Algenoberfläche in m²
0 - 2
7 - 6
Der Wachstumsfaktor ist eine Zahl, mit der sich eine Größe in einer Zahlenfolge verändert. In unserem Beispiel erhöht sich die Algenoberfläche in 7 Tagen (eine Woche) um den Faktor 3.
Am 7. Tag beträgt die Algenoberfläche 6 m². Stell Sie sich vor, Sie teilen diese Algen in drei einzelne Algenteppiche auf. Jeder dieser drei Algenteppiche misst dann wieder eine Fläche von 2 m². Was passiert mit den einzelnen Teppichen nach einer weiteren Woche? Jeder verdreifacht sich erneut. Sie können sagen, dass Sie am 14. Tag drei Algenteppiche mit je 6 m² vorfinden (3*6 m²). Oder Sie zählen direkt alle mit 18 m² zusammen. Aktualisieren Sie die Tabelle:
Zeit t in Tagen - Algenoberfläche O in m²
0 - 2
7 - 6
14 - 18
Sie können ein Muster beobachten: alle 7 Tage verdreifacht sich die Fläche.
Sie suchen eine Funktion, die einer Zeit t eine Algenoberfläche O zuordnet. Eine Exponentialfunktion hat folgende allgemeine Form:
a bezeichnet einen Vorfaktor und b die Basis. x befindet sich im Exponenten. c ist eine Konstante, mit der Sie den Exponenten später noch etwas verändern können.
Als Vorfaktor wählen Sie ihre anfängliche Algenoberfläche von 2 m². x ist in unserem Beispiel die Zeit t und f(x) die Algenoberfläche O. Für b verwenden Sie den Wachstumsfaktor von 3, den Sie bereits erkannt haben. Damit es nicht zu Verwirrungen zwischen Einheiten und Formelzeichen kommt, verzichten Sie auf die Einheiten. Sie sollten aber immer daran denken, welche Einheiten zum Anfang gewählt wurden:
Überprüfen Sie, ob die Funktion für t = 0 den richtigen Wert angibt. Beachten Sie, dass 3 hoch 0 1 ergibt.
Ergibt die Funktion auch für t = 7 den richtigen Funktionswert von 6?
Damit können Sie die Konstante c bestimmen. Sie stellen die Gleichung nach c um.
Nun kennen Sie c und damit auch die gesamte Funktion.
Mit dieser Funktion können Sie die Algenoberfläche für alle Tage berechnen. Tragen Sie die Ergebnisse in Ihre Tabelle ein:
Zeit t in Tagen - Algenoberfläche O in m²
0 - 2
1 - 2.34
7 - 6
10 - 9.61
14 - 18
20 - 46.16
30 - 221.74
50 - 5117.28
Damit können Sie die Aufgaben a) und b) lösen.
a) Wie groß ist der Wachstumsfaktor, mit dem sich die Algen pro Tag ausbreiten? Dividieren Sie dazu einfach die Algenoberfläche am Tag 1 durch die Algenoberfläche am Tag 0:
Der Wachstumsfaktor pro Tag beträgt 1.17.
Wie groß ist der Wachstumsfaktor, mit dem sich die Algen pro Woche ausbreiten? 3.
Pro Monat? Dividieren Sie dazu die Algenoberfläche am Tag 30 durch die Algenoberfläche am Tag 0:
Der Wachstumsfaktor pro Monat beträgt 110.87.
b) Berechnen Sie die Größe der von Algen bedeckten Fläche nach 10, 20 und nach 50 Tagen? Werfen Sie einen Blick in Ihre Tabelle.
c) Stellen Sie eine zusätzliche Funktion O' auf. Berechnen Sie dazu den Wachstumsfaktor für 2 Wochen:
Für die neue Funktion ist der Vorfaktor a 5. Die Basis ist 6.25 und c müssen Sie so anpassen, dass die Funktion bei t = 14 einen Wert von 31.25 m² annimmt.
Die neue Funktion könnte dann so aussehen:
Welche Algenoberfläche wächst schneller? O oder O'?
Vergleichen Sie dafür einfach die Wachstumsfaktoren einer gleichen Zeitspanne.
Sie wissen bereits, dass die zweite Algenoberfläche für 2 Wochen einen Wachstumsfaktor von 6.25 aufweist. Nun berechnen Sie den Wachstumsfaktor der ersten Algenoberfläche für 2 Wochen.
Die erste Algenoberfläche wächst somit schneller, als die zweite Oberfläche.
In der folgenden Abbildung ist das Wachstum beider Algenoberflächen visualisiert:
In rot die erste Algenoberfläche und in blau die zweite Algenoberfläche, mit der Zeit in Tagen auf der x-Achse und der Algenoberfläche in m² auf der y-Achse. Sie sehen, dass der Funktionswert der 2. Funktion im ersten Monat am größten ist. Dies liegt am höheren Anfangsbestand. Nach dem ersten Monat übersteigt die erste Algenoberfläche (rot) jedoch die zweite Algenoberfläche (blau). Dies liegt an dem höheren Wachstumsfaktor dieser Algenart.
Mein Ansatz dazu war dass es ja in 7 Tagen um 4m zum Quadrat wächst und es dann an einem Tag um 4/7 m zum Quadrat wachsen müsste, ich glaube aber dass das falsch sind und es eher 3/7 sind aber ich kann mir dazu keine Erklärung herleiten. Weil es verdreifacht sich ja in einer Woche aber das kann ich doch nicht einfach auf einen Tag runter brechen oder?