Erklärung der Heisenbergschen Unschärferelation am Einzelspalt?
Vor dem Einzelspalt ist der Impuls gut bestimmt, der Ort unbestimmt. Im Spalt erfährt es nun senkrecht zur Wellennormale eine Lokalisation der Spaltbreite dx. Wegen dx*dp=h muss nun eine Erhöhung der Impulsunschärfe erfolgen, sodass das Elektron einen Querimpuls dp_x erhält. Meine Frage ist nun: Warum bleibt der Querimpuls auch nach der Lokalisation bestehen? Bzw verstößt es nicht gegen den Energieerhaltungssatz (auf Dauer!), da durch Vektoraddition von p_y + p_x ein größerer Impuls besteht als vor dem Spalt? Und wieso interferiert dann das Elektron, wenn es doch einen unbestimmten Impuls hat? Wellen interferieren doch und Wellen haben einen wohldefinierten Impuls? Was hier ja durch die Lokalisation nicht mehr gegeben ist...
3 Antworten
Zu diesem Tema empfehle ich dir das ausgezeichnete Lehrbuch von ===> Eugen Fi ck / Darmstadt.
Nach der Kopenhagener Deutung gibt es ja gar keinen Zustand, in welchem das Elektron gleichzeitig einen Aufenthaltsort und einen Impuls hätte. Was dir vielleicht nicht bewusst ist.
Stell dir vor, ich messe die Geschwindigkeit des ( freien ) Elektrons, indem ich seinen Ort x0 zur Zeit t = 0 so wie den Ort x1 zu dem späteren Zeitpunkt t1 bestimme. Dann sage ich
v = ( x1 - x0 ) / t1 ( 1 )
Wenn ich jetzt her gehe und ( z.B. per ===> Doppler-Experiment ) konkret dieses v nachmesse, werde ich NICHT ( 1 ) finden, sondern einen völlig unvorhersehbaren Wert.
===> Peter Mittelstaedt gibt folgende Deutung.
" Die klassische Logik lässt zu, dass einmal eingeführte Argumente unbeschränkt verfügbar sind; du kennst doch den berühmten Spruch
' Alles, was Sie sagen, kann auch gegen Sie verwendet werden. ' "
Wenn du mal in den Fi ck schaust; im Grunde ist die Rechnung ganz einfach. Aus der Orts-Impulsunschärfe folgt direkt, dass die Messung von x0 und x1 UNVERTRÄGLICH sind. So bald du den Aufenthaltsort x1 bestimmt hast, hat das Elektron " vergessen " , wo es zur Zeit t = 0 war. Selbst wenn du es in x0 fotografiert hast - dieses Foto ist absolut nichts mehr wert und beweist nichts. ===> Hans Reichenbach, dessen Schriften ich dir wärmstens empfehle
" QM wäre nicht so schwer, wenn wir nicht die Aufgabe hätten, mit ihrer Hilfe die Zukunft vorher zu sagen . . . "
Das mit dem x0 und dem x1 , was ich dir eben erzählt habe, klingt wie höherer Irrsinn; ich weiß . .
Und noch etwas zeigt es; etwas, was aber schon bei Opa Heisenberg steht. Viele versuchen die Unschärfe mit einer physikalischen Einflussnahme auf das Elektron zu deuten; z.B. das Photon, welches das Elektron beleuchtet, übe eine unkontrollierbare Wechselwirkung auf das Elektron aus. Wahrlich ich sage dir mit dem Gewicht meiner Verantwortung als promovierter Physiker. Jeder ernst zu nehmende Autor wendet sich heute längst gegen diesen Standpunkt.
Du weißt doch, was ein Gedankenversuch ist. t = 0 , also die Messung von x0, sei ein Zeitpunkt, als die Dinos noch auf der Erde rum liefen. Danach war das Elektron sich selbst überlassen. Und t1 sei heute.
Hier wie soll denn das Photon von Heute einen Zustand beeinflussen oder stören, der mal unter den Sauriern bestand? Eine physikalische Wirkung in die Vergangenheit hinein ist nun wirklich abwegig. Verwandte reale Experimente wirst du übrigens finden unter der Kapitelüberschrift ===> Delayed Choice .
Im Grunde argumentierst du aber genau so.
" Zum Zeitpunkt t = 0 habe ich das Elektron in dem Spalt gesehen. Dann zum Zeitpunkt t1 in meinem Zähler; ALSO verletzt es einen Erhaltungssatz, weil es ein ' Querschläger ' ist . . . "
Dieser Fi ck hat ja fast nur Gegner; wie könnte das anders sein bei einem quasi Moralprediger, der dir zur freundlichen Beachtung kursiv gedruckte Merksätze um die Ohren haut, die du bei keinem anderen Autor findest.
Aber mit zwei Tesen verdiente er sich dann doch Respekt; sie werden allgemein immer wieder zitiert. Du müsstest dich jetzt aber in den Begriff des ===> Eigenzustands einarbeiten.
Tese 1 :
" Die Eigenzustände von Erhaltungsgrößen mögen stationäre Zustände heißen. In einem stationären Zustand sind alle Wahrscheinlichkeiten des Systems Zeit unabhängig ===> Das System bewegt sich überhaupt nicht. "
Berühmtes Beispiel; der harmonische Oszillator. Schau dir mal das Spektrum dieses Aparillos an. Jetzt wirst du unterstellen, dass das Teilchen eine harmonische Schwingung ausführt mit einer Frequenz unabhängig von der Amplitude.
Falsch.
Schwingung würde doch bedeuten: Der wahrscheinlichste Aufenthaltsort des Teilchens ist Zeit abhängig. In einem stationären Zustand ( scharfe , " gute " Energie, wie viele sagern ) bewegt sich nichts. Der wahrscheinlichste Aufenthaltsort ist die Gleichgewichtslage.
Und der wahrscheinlichste Impuls ist Null.
Hier wie kann ein Teilchen Energie besitzen, das bei x = 0 ruht?
Das sind nur Mittelwerte; die Anschauung argumentiert jetzt ganz typisch, alle QM Messwerte besitzen auch eine Streubreite. Weder ist eine Orts-mit einer Impulsmessung vereinbar noch eine Energiemessung mit einer Orts-oder Impulsmessung; diese Größen sind immer mit Unschärfen behaftet. In einer halb anschaulichen Sprache sucht man eben plausibel zu machen, dass sich das Teilchen nur mit einer gewissen Unschärfe im Ursprung befindet; es bezieht quasi seine ganze Energie nur aus der Unschärfe.
Und jetzt Tese 2 :
" Befindet sich das System in einem beliebigen Zustand , so sind trotzdem die Wahrscheinlichkeiten für alle stationären Zustände Zeit unabhängig. "
D.h. wenn die Welle aus deinem Spalt wieder raus kommt. Es gilt eben doch Impulserhaltung in dem Sinne, dass sich NACH der Messung / Störung die Wahrscheinlichkeiten nicht mehr ändern, einen bestimmten Impuls anzutreffen.
Ach übrigens. Mir hat mal jemand, der Ahnung hat, erzählt, der Entdecker des Gravitationsgesetzes sei gar nicht Isaac Newton, sondern Edmond Halley. Rätselhaft blieben ja immer die 20 Jahre, in denen Newton seine ( angeblichen ) Aufzeichnungen nicht ausarbeitete. Mein Gewährsmann: Halley sei Ateist gewesen; in dem damaligen Britannien sei es ein Unding gewesen, dass ausgerechnet ein Ateist ein göttliches Gesetz entdeckt . . .
Ein Gentleman Agreement: Man legte ihm nahe, seine Erkenntnisse Newton zu überlassen.
Etwas Ähnliches passierte bei der Unschärfe. Mir liegt vor der private briefwechsel zwischen Max Born und dem von diesem geradezu vergötterten Einstein vor. Aus diesen Briefen geht eindeutig hervor, dass Born die Bedeutung der ===> Poissonklammern für die QM erkannt hatte. Er übergab diese Dinge Einstein quasi aus Ehrfurcht, weil er diesem seine Entdeckung in die Hände spielen wollte. Wer jedoch weiß, wofür sich Einstein ernsthaft intressierte, wird verstehen, dass ihm diese Dinge voll am Aasch vorbei gingen.
Als dann sein Schüler Werner Heisenberg den Nobelpreis bekommt und er nicht, schimpft Born neidisch
" Heisenberg war nur ein Hallodri; bei mir glänzte der nur durch Abwesenheit. Der wusste gar nicht, was eine Matrix ist, obwohl ich mich immer wieder bemüht habe, ihm hinterher zu rennen und es ihm begreiflich zu machen . . . "
Nein; es besteht keine Veranlassung, Heisenbergs monumentales Lebenswerk in Zweifel ziehen. Er war in jedem Falle ein Geistesriese. Vorschlag zur Güte; ich will jetzt nicht untersuchen, wer was gesagt hat. Bei Heisenberg fand ich ja schon als Abiturient diese Geschichte mit der Blasenkammer. Heisenberg meditiert, es müsse doch möglich sein, den Aufenthalötsort eines subatomaren Teilchens zu bestimmen. Und da kommt ihm eine Erleuchtung. In der Blasenkammer z.B. erzeugt das Teilchen Nebeltröpfchen. Aberf sein Aufenthaltsort ist nie genauer bekannt als der Durchmesser dieses ( makroskopischen ) Tröpfchens . . .
Fi ck ist in gewisser Weise ein Kompilator. Die axiomatische ===> Hilbertraumteorie der QM setzt er so um, dass ein Student ein Kompendium aus klaren, übersichtlichen Begriffen bekommt. Und da taucht eben auch eine Idee auf, die als abstrakte Verallgemeinerung der Nebeltröpfchen wirkt.
Fi ck fragt: Wie kann ich eigentlich den Begriff der Bewegung von einem klassischen System auf die QM übertragen? Jetzt denk mal an deinen Spalt. Der Spalt gibt doch zwei Dinge vor. Einen MITTLEREN Aufenthaltsort so wie - ganz wichtig - eine STREUBREITE für die Ortsmessung. Nach dieser Messung bzw. Präparation bleibt die Wellenfunktion sich selbst überlassen; ihre Bewegung wird durch die ===> Schrödingergleichung bestimmt.
Von Bewegung kannst du laut Fi ck erst sprechen, wenn sich dieser Mittelwert um mehr verschiebt, als der Streubreite der Messwerte entspricht. Anschaulich gesprochen: Das Elektron hat sich seitlich aus dem Spalt heraus verschoben.
Die Zeit , die das Elektron dafür benötigt , sei DELTA ( t ) . Dann hast du die Energie-Zeit-Unschärfe
DELTA ( E ) DELTA ( t ) > = h ( 2 )
Tese 1 und ( 2 ) sind nur Sonderfälle von ( 1 ) Hierbei ist DELTA ( E ) die Energie-Unschärfe des Wellenpackets. Nein; das Elektron verletzt keinen Erhaltungssatz. Bloß in dem Augenblick, wo das Elektron in den Spalt eintritt, entsteht ein Wellenpacket, dessen Energie-Unschärfe um so größer ausfällt, je schmaler der Spalt. Es ist diese Unschärfe, die bewirkt, dass Elektronen seitlich " abgelenkt " werden.
Heisenbergzitate sind ja " telegen " ; unter gebildeten Menschen sind sie verbreitet.
" Im Grunde genommen entstehen die Paradoxien der QM dadurch, dass wir in der alltagssprache über eine Welt reden, die nur abstraktester Matematik zugänglich ist. Die Schönheit matematischer Denkgebäude ist dem Laien einfach nicht zu vermitteln. "
Ich darf nochmal auf den o.e. Hans Reichenbach zurück kommen; du der schreibt wirklich fesselnd.
" Ich beanspruche, ein nunmehr 2 000 Jahre altes philosophisches Problem gelöst zu haben - das Problem des ===> Solipsismus. Nicht, weil mich philosophische Fragen auch nur einen Deut intressieren. Aber wir kommen sonst nicht mit der QM klar. "
Woher weiß ich, dass eine objektive Außenwelt existiert?
Gar nicht.
Wenn ich über die Welt in einer Sprache reden kann so ALS OB . Als ob die Phänomene real und intersubjektiv existieren, dann möge diese Sprache das " Normalsystem " heißen. So sind z.B. kausal-deterministische Theorien Normalsysteme; denn sie sprechen nur von den Ursachen und ihren Wirkungen - nicht von den ( im Grunde entbehrlichen ) Beobachtern.
Umgekehrt wird ein Schuh draus; wenn ich zeigen kann, dass eine bestimmte Phänomenklasse ein Normalsystem besitzt ( was nicht selbstverständlich ist ! ) dann habe ich etwas über jene Phänomene gelernt.
Nachdem wir Reichenbach bis Hier her gefolgt sind - der Donnerschlag. Kursiv gedruckt
DIE QM BESITZT KEIN NORMALSYSTEM .
Das klingt so wie
" Vor dem Essen gibt's keine Lokoschade mehr; teil sie dir ein. "
Bitte stelle gegenüber. Heisenberg voll arrogant. Er hätte genau so gut sagen können, du mit deiner trivialen Umgangssprache bist unfähig, die höheren Weihen der QM zu erlangen. Dagegen Reichenbach arbeitet für Philosophen klar die Andersartigkeit der Phänomene heraus.
Es sei unmöglich, eine Sprache einzuführen, die den Beobachter und dessen Vorwissen zur Gänze eliminiert.
Das genau ist, was Reichenbach von allen Traditionalisten unterscheidet. Man lernt doch immer, z.B. das Wellen-oder Teilchenbild seien bloß unvollkommene Annäherungen.
Für Reichenbach sind sie das keines Wegs. In Ermangelung des Normalsystems musst du halt zu einer anderen Sprache greifen. Aber - wir hörten schon - keine dieser Sprachen rettet die Objektivität der Phänomene.
Also demn, der zur QM keine Fragen hat, gibt es nicht. Ich erwarte deine Kommentare.
Nach dem passieren des Spalts ist der Ort des Elektrons bekannt bis auf die Breite d des Spaltes
Δx = d
Wird das Elektron durch eine ebene (deBroglie-)Welle mit Wellenlänge λ beschrieben, gilt für die Beugung nach dem Spalt (elementare Optik):
sin α ~ λ/d => Δx = d ~ λ/(sin α) (*)
Die Impulsunschärfe nach dem Spalt ist dann
Δp = h/λ sin α
( p = h/λ Ist der Impuls vor dem Schirm und senkrecht zu diesem)
Und mit (*) also:
Δx Δp ~ h
Siehe z.B. Werner Heisenberg; Die physikalischen Prinzipien der Quantenmechanik.
sodass das Elektron einen Querimpuls dp_x erhält.
kann man so nicht sagen. wie du selbst geschrieben hast wird sich die impulsunschärfe erhöhen. das heißt in diesem zustand wird die varianz der impulsverteilung in x-richtung größer sein, der erwartungswert ist aber immer noch 0 (weil die verteilung ja in die +x und die -x richtung breiter wird).
Warum bleibt der Querimpuls auch nach der Lokalisation bestehen?
nochmal: es ist nicht so dass das elektron ohne dass du den impuls misst einen festen querimpuls in x-richtung hat. es wird beschrieben durch eine überlagerung aus unendlich vielen zuständen die jeder für sich einen festen impuls haben. und diese überlagerung beinhaltet nach der lokalisation mehr anteile von zuständen mit großem querimpuls als davor.
Bzw verstößt es nicht gegen den Energieerhaltungssatz.
nein. denn auch die platte mit dem spalt kann natürlich impuls des elektrons aufnehmen.
Wellen interferieren doch und Wellen haben einen wohldefinierten Impuls?
ebene wellen haben einen wohldefinierten scharfen impuls. ein elektron wird beschrieben durch ein wellenpaket, also eine überlagerung aus unendlich vielen ebenen wellen. daher hat es ja einen impulsunschärfe.
je lokalisierter das wellenpaket, desto mehr anteile von ebenen wellen mit großem impuls tragen bei und umgekehrt ----> unschärferelation
<< nein. denn auch die platte mit dem spalt
<< kann natürlich impuls des elektrons aufnehmen.
nein; das ist nicht die Ursache. Mitnichten berührt das Elektron die Platte. Diese Auffassung ist völlig verkehrt, die Unschärfe entstamme einer Wechselwirkung, welche im Grunde die Impulsbilanz respektiert.
Hans Reichenbach ( siehe meine Antwort ) geht nämlich genau auf diesen Punkt ein; selbstverständlich kenne die klassische Physik z.B. den Einfluss des Innenwiderstandes des Amperemeters auf den zu messenden Strom. Doch die klassische Teorie sei REDUIKTIONISTISCH ; die klassische Messteorie besitzt Verfahren, bei deren Anwendung dieser Fehler gegen Null geht.
Der Faktor h in den QM Formeln weist aber darauf hin, dass es sich hier um eine Erkenntnis teoretische Grenze handelt.