dürfen orthodoxe in katholischen Kirchen beten?

Ja, dürfen sie. Sie dürfen auch am Gottesdienst teilnehmen.

Ein orthodoxer Christ darf aber die Kommunion nur in orthodoxen Kirchen empfangen:

Eastern Orthodox Christians are forbidden from receiving Communion in any church other than Eastern Orthodox. Eastern Orthodox Churches accept to Holy Communion only baptized Eastern Orthodox Christians (such as Greek Orthodox, Russian Orthodox, Albanian Orthodox, etc),

https://en.wikipedia.org/wiki/Closed_communion#Eastern_Orthodox_Church

Ansonsten ist Teilnahme am Gottesdienst kein Problem. Und somit auch nicht das Betreten/Beten.

By the way: Die römisch-katholische Kirche erlaubt die Kommunion für Orthodoxe, für Protestanten aber nur in Ausnahmefällen.

Ja. Nur in der Messe bitte nicht an der Kommunion teilnehmen, sondern vorher den Priester fragen, ob es geht. Sonst gibt es da kein Problem.

Meines Wissens sind Kirchen für alle Religionen offen. Jedenfalls in Deutschland. Dem Küster ist es egal, ob Katholik, Evangelist, Jude oder Araber, Hindu´s oder Buddisten, Voodoo-Fanatiker, Manitu , "Zeugen", ... auf der Bank vor seiner Kanzel sitzen. Hauptsache, sie verstehen seine Worte !!! Wird zwar nie passieren ... aber wäre endlich mal nötig. Die Grundlehren sind überall die Gleichen ! Aber deren Auslegung machen die Religionen zu Feinden. Schade ;-(

In katholischen Kirchen darf jeder beten der möchte, übrigens auch in evangelischen Kirchen.

Ja. Umgekehrt auch.