Das Newton-Verfahren und Startwert
Wie bestimmt man den Startwert x1 am einfachsten bzw. schnellsten?? Bitte ohne Taschenrechner. Danke :D
5 Antworten
Diese Frage habe ich bereits teilweise unter
beantwortet: diese Funktion hat 4 Nullstellen (siehe Bild dort).
Die beiden äußeren Lösungen (x1 und x2 Nullstellen) bekommt man leicht, da kann der Startwert (x[0]) dort aB[0] sehr weit außen liegen -> das Konvergenzverhalten ist gut und relativ schnell:
- alles kleiner -0.01 landet bei Lösung 1 x1 = -1.0000...
- aB[0] größer 1.245 landet bei Lösung2 x2= 1.30848...
- die meisten Startwerte dazwischen (0.7 und 1.1 ) landen bei Lösung3
x3= 1.00062...
- und nur ein sehr kleiner Bereich Startwert um 1.19 landet auch bei Lösung 4 x4=1.197...
Wenn Du nur 1 mögliche Lösung benötigst, reicht ein beliebiger Startwert in einem Bereich, der auch konvergiert. Bei gleicher Genauigkeit ist ein scheinbar weit entfernter Startpunkt oft nur 1 Iterationsschritt mehr -> also kaum mehr Rechenarbeit...
Hallo,
dafür kannst du dir die Funktion am besten im Schaubild ansehen und die Nullstelle in etwa schätzen.
Als Beispiel nehmen wir folgende Funktion:
x³ +3x² +2=0
Wenn man sich die Funktion in einem Koordinatensystem anschaut, fällt auf, dass die Funktion nur eine NST hat. Sie schneidet einmal die x-Achse. Außerdem erkennst du dann, dass die Funktion keine "runde" NST besitzt.
Die Formel für das Newtonverfahren lautet:
x = x - (f(x)) / (f´(x))
1.Startwert für x berechnen. Der Wert kann fast frei gewählt werde, sollte aber möglichst in der Nähe der Nullstelle befinden. Wenn man sich unsere Funktion anschaut, wäre x = - 3 als Startwert geeignet.
2.Ableitung bestimmen: Wir müssen die Funktion erstmal ableiten
f(x) = x³ +3x² +2
f´(x) = 3x ^2 + 6x
3.Nun können wir das in die Formel einsetzen
x = x - (f(x)) / (f´(x))
x = -3 - (f(-3)) / (f´(-3))
Nebenrechnungen
f(−3)=(−3) ^3 +3⋅(−3) ^2 +2=2
f ′ (−3)=3⋅(−3) ^2 +6⋅(−3)=9
Nehmen wir wieder die Formel zur Hand
x 1 =−3 −2 / 9 =−3,22222
Jetzt haben wir x1 bestimmt, aber wir müssen noch weiterrechnen:
x 2 =x 1 −f(x 1 ) / f ′ (x 1 ) =−3,22222−f(−3,22222) / f ′ (−3,22222) = −3,19622
Das ganze Verfahren kann man jetzt so fortführen, bis man schließlich einen genauen Wert für die NST hat. Also bist sich die entsprechenden Stellen nicht mehr ändern. Man könnte das Verfahren z. B bei 4 Dezimalstellen abbrechen. In diesem Beispiel ändern sich die ersten 4 Dezimalstellen bei x 3 und x 4 nicht mehr. Somit hätte man bei x 4 die Lösung NST (-3,1958|0)
x 1 =−3,22222
x 2 =−3,19622
x 3 =−3,19582
x 4 =−3,19582
LG :))
Für Interessierte (nicht für Schüler, die für Lehrer lernen): bei Gleichungen bis Grad 4 gibt es (analog zur pq-Formel bei quadratischen Gleichungen) exakt umgestellte PQRST-Formeln:
x1=-1-1/(2-sqrt(3))^(1/3)-(2-sqrt(3))^(1/3)
= -3.1958233454456471528327992055497...
Man benötigt ein Intervall, in dem die Funktion streng monoton steigt oder fällt, stetig ist und einen Vorzeichenwechsel hat. Dann kann man eine der Intervallgrenzen als Startwert nehmen..
Man findet ein solches Intervall durch schrittweise Verkleinerung, indem man Maxima, Minima, Wendepunkte und Polstellen rauskickt und immer drauf achtet, dass das neue Intervall noch einen Vorzeichenwechsel hat.
Wenn Du schon etwas über den Verlauf der Funktion weißt,
(zB Extrema usw.) und evtl. noch ein paar Punkte ausrechnest
(wenn Du unbedingt willst auch ohne TR, viel Spaß!),
und damit das Schaubild skizzierst, kannst Du die Nullstelle(n) ungefähr abschätzen.
Gar nicht.