braucht man ein unbefristetes visum um ein Führerschein zu machen?

Für eine Führerscheinausbildung wäre es völlig egal. Um aber den Führerschein zu erhalten müsste ein Antrag auf Erteilung einer Fahrerlaubnis gestellt werden. Den müsste man da stellen wo man gemeldet ist und hat man nur ein Visum ist man lediglich ein Besucher, also kann keinen Führerschein machen.

Möglicherweise meinst Du eine Aufenthaltsgenehmigung. Dann ist man gewöhnlich auch hier gemeldet und kann auch einen Führerschein machen, bei einer Duldung sollte dies auch möglich sein.

Um ein Auto zu kaufen interessiert es überhaupt nicht welche Nationalität man hat, ob mit Visum, Aufenthaltsgenehmigung oder sonstwie hier ist. Erst wenn man ein Auto auf sich zulassen möchte kommen solche Probleme auf.

Nein, ein Aufenthaltsrecht wird nicht abgefragt. Man beantragt auf eigenes Risiko.