Bewegen sich eukaryotische Zellen fort? Wenn ja, wie?

Manchmal ja, manchmal nein. Das ist übrigens bei Prokaryoten genauso (außer dass hier wesentlich häufiger passiver Ortswechsel stattfindet, wegen der Kleinheit).

Beispiele für ortsfest: Stützzellen in Pflanzen / Bindegewebszellen in Tieren

Beispiele für beweglich: weiße Blutzellen, Amöben (Pseudopodien, "Fließen"); mit Geißeln (Flagellaten, inkl. Spermazellen)

Daneben gibt es - wie gesagt - passive Ortsbewegung (z. B. Pollen) und vermutlich auch andere Arten von aktiver Bewegung.