Bekommt eine Person, die man nicht bei FB auf seiner Liste hat, angezeigt, wenn man dieser eine Nachricht schreibt? Egal ob am PC oder Smartphone?

Wenn die Person dich nicht blockiert hat, wird sie eine Meldung erhalten "Person XXX möchte sich mit dir verbinden."
Die Kommunikation findet bei FB immer über den Messenger statt. Der andere kann das also dann lesen und antworten, ohne, dass ihr Freunde seid, sofern er diese "Verbindung" akzeptiert. Lesen, was du ihm geschrieben hast, kann er trotzdem. Sollte er diese Verknüpfung ablehnen, wird er künftig nichts mehr lesen können.

Grüß dich,

das kann im Einzelfall variieren. An sich ist es schon möglich, dass die ausgewählte Person deine Nachricht direkt zugestellt bekommt. Dennoch landen hin und wieder Nachrichten von Nicht-Kontakten in einem gesonderten Ordner. Wenn man diesen Ordner nicht regelmäßig prüft, erfährt man unter Umständen gar nicht von diesen Nachrichten. 

Um diesen besagten Ordner zu finden, klickst du im Messenger ganz rechts auf "Einstellungen/Profil-Button" (abhängig vom Betriebssystem), wählst dann "Personen" sowie "Nachrichtenanfragen" aus. Im Anschluss daran musst du auf den Link "Gefilterte Anfragen anzeigen" tippen. Nun werden alle Nachrichten angezeigt.

Falls du die gefilterten Nachrichten am PC oder Laptop aufrufen möchtest, klickst du auf "Nachrichten", "Mehr" sowie "Gefiltert". Die Nachrichtenanfragen erscheinen links neben dem Dropdown-Menü "Mehr".

Viel Spaß beim Lesen deiner Nachrichten.

VG Jürgen