Beispiel für eine Aufnahmsprüfung an einer Wirtschaftsuni.?
Bei Beispiel 3 steh ich gerade auf der Leitung: Wie stelle ich die Nachfragefunktion auf (1+2 = ok)?
Hast du eine Lösung von 3.3?
Habe das Gefühl, dass ein Fehler in der Aufgabe ist.
Inzwischen hab ich eine Lösung gefunden. Danke! :-)
Kannst du die bitte mal hochladen? Würde selber auch mal gerne sehen, wie das jetzt gemacht wurde :)
Siehe unten im Kommentar "Ich habe das....."
1 Antwort
3.1)
x stehr für die Anzahl der herkömmlichen Fahrräder, y jener der Tandems. Es gilt für die Anzahl der 99 Personen, die auf all diese 56 Fahrräder verteilt werden können
I) x + 2 y = 99
II) x + y = 56
Dieses (lineare) Gleichungssystem kann man durch das Einsetzungs-, Gleichsetzung- oder Additionsverfahren (letzeres auch Gaußverfahren oder Gaußalgorithmus genannt) lösen. Ich nutze das Additionsverfahren.
Ich addiere das –1-fache der zweiten Gleichung zur ersten, also I – II.
x + 2 y – (x + y) = 99 – 56
<=> y = 43
Das Ergbnis setzen wir in eine der beiden Gleichungen ein, zum Beispiel die zweite und erhalten
x + 43 = 56 <=> x = 13.
Von den 56 Fahrrädern sind also 13 herkömmliche und 43 Tandems.
3.2)
Hier fehlt eigentlich noch die Information, ob die Tandems immer von zwei Personen geborgt werden - denn der Preis varriert sinnloser Weise zwischen einem und zwei Fahrer. Ich nehme an, dass ein Tandem auch tatsächlich von zwei Personen gefahren wird.
Die Öffnungszeiten sind von 10 bis 17 Uhr, also sind die Fahrräder 7 Stunden verliehen (nach Aufgabenstellung sind ja alle 56 Fahrräder durchgehend geborgt).
Für ein herkömmliches Fahrrad (20 € pro Stunde) liegt der Verdienst also bei
20 € / Stunde * 7 Stunde = 140 €.
Bei einem Tandem (13 € / Stunde / Person) mit zwei Fahrern (Person) dann bei
13 € / Stunde / Person * 7 Stunden * 2 Person = 182 €.
Da insgesamt 43 Tandems und 13 herkömmliche Fahrräder verliehen werden, liegt der gesamte Erlös bei
43 * 182 € + 13 * 140 € = 9646 €.
3.3)
Anfangs ist die Nachfrage 13 F / h (F: Fahrräder, h: Stunde).
Der Preis ist 20 € / F / h. Nun soll der Preis p eines Fahrrads um x € / h erhöht werden.
Dafür fällt die Nachfrage n um –0.25 F / h.
Wir erhalten die funktionalen Zusammenhänge
p(x) = 20 € / F / h + x € / F / h
n(x) = 13 F / h – 0,25 F / h * x
Der Erlös e in € / h beträgt damit
e(x) = p(x) * n(p)
e(x) = 260 € / h² + 8 x € / h² – 0,25 x² € / h²
Nun ist das Maximum gesucht. Da e eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt, reicht es, die einzige kritische Stelle mit der ersten Ableitung zu berechnen, denn das muss dann die Maximalstelle sein.
e'(x) = 8 € / h² – 0.5 x € / h²
0 = 8 € / h² – 0.5 x € / h²
x = 16
Der Preis sollte also um 16 € / h bei einem herkömmlichen Fahrrad angehoben werden.
Damit beträgt der neue Preis 36 € / F / h. Die Nachfrage ist damit 9 F / h und der Erlös an einem Arbeitstag (7 Stunden) 324 € / h² * 7 h² = 15'876 €, also rund 40 % höher als vorher.
In dieser Aufgabe ist aber ein Fehler. Die Nachfrage bträgt z.B. bei zwei h 18 F. Der Unternhemer hat aber nur 13 F. In der Aufgabe steht nicht genau, wie die Nachfrage gemeint ist: F für die ganzen 7 h oder F für nur eine Stunde? Dort steht halt F / h. Die werden aber nicht verkauft, sondern vermietet. Man müsste also noch wissen, wann ein Fahrrad wieder zurückkommt, um entscheiden zu können, wie viele Fahrräder noch da sind. Bei meiner Rechnung bin ich davon ausgegangen, dass immer 9 F in jeder der 7 h vermietet wurden.
Habe gerade entdeckt, dass ich die Steigung falsch berechnet habe (Steigung = Senkrecht ÷ waagrecht) → richtig ist als -1/0,25 = -4 → daraus ergibt sich natürlich eine andere Nachfragefunktion und in folge eine andere Umsatzfunktion, aber ich vermute, das schaffst du dann allein. :-)
Der Umsatz soll maximal werden → Umsatz = Preis × Menge
Das ist klar, aber schau mal auf die Einheiten deiner Funktion p.
p(f) = -0,25·f + 345
[f] = Stück
[–0.25] = Stück / Stunde
[345] = Euro / Stunde
Bei p erhälst du also nicht die Einheit Euro / Stück, sodass der Umsatz Euro / Stück × Stück wäre, also p(f) * f.
Wenn du die Einheiten mirführst, kommen sinnfreie Einheiten in der Umsatzfunktion raus.
Alleine schon die Nachfrage ist in der Aufgabe nicht genau genug beschrieben.
F: Fahrräder, h: Stunden
Dort steht ja, dass die Nachfrage bei jeder Preiserhöhung x € / h um 0.25 F / h sinkt.
Dann kann man ja die Nachfrage als
13 F / h – 0.25 F / h * x
darstellen. Nehmen wir einfach mal x = 4 an. Dann wäre die Nachfrage 12 F / h. Was soll das aber bedeuten?
Werden in einer Stunde 12 Fahrräder benötigt? Eigentlich ja. Aber wenn man nun zwei Stunden wartet, werden dann 24 Fahrräder benötigt... Das macht keinen Sinn, da der Vekäufer nur 13 Fahrräder hat. Außerdem geht daraus nicht hervor, ob nach der ersten Stunde bereits Fahrräder zurückgekommen sind - sie werden ja nur vermietet.
Wenn man davon ausgehen würde, dass die 12 Fahrräder die ganzen 7 Stunden vermietet werden, wie in der Aufgabe zuvor, dann macht die Einheit F / h keinen Sinn, sondern nur F / (7 h).
In der Aufgabe ist irgendwo ein Denkfehler.
Wie kommst du denn auf 1/(–0.25) = –4 als Steigung?
Hast du dir das durchgelesen?
3.3)
Anfangs ist die Nachfrage 13 F / h (F: Fahrräder, h: Stunde).
Der Preis ist 20 € / F / h. Nun soll der Preis p eines Fahrrads um x € / h erhöht werden.
Dafür fällt die Nachfrage n um –0.25 F / h.
Wir erhalten die funktionalen Zusammenhänge
p(x) = 20 € / F / h + x € / F / h
n(x) = 13 F / h – 0,25 F / h * x
Der Erlös e in € / h beträgt damit
e(x) = p(x) * n(p)
e(x) = 260 € / h² + 8 x € / h² – 0,25 x² € / h²
Nun ist das Maximum gesucht. Da e eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt, reicht es, die einzige kritische Stelle mit der ersten Ableitung zu berechnen, denn das muss dann die Maximalstelle sein.
e'(x) = 8 € / h² – 0.5 x € / h²
0 = 8 € / h² – 0.5 x € / h²
x = 16
Der Preis sollte also um 16 € / h bei einem herkömmlichen Fahrrad angehoben werden.
Damit beträgt der neue Preis 36 € / F / h. Die Nachfrage ist damit 9 F / h und der Erlös an einem Arbeitstag (7 Stunden) 324 € / h² * 7 h² = 15'876 €, also rund 40 % höher als vorher.
In dieser Aufgabe ist aber ein Fehler. Die Nachfrage bträgt z.B. bei zwei h 18 F. Der Unternhemer hat aber nur 13 F. In der Aufgabe steht nicht genau, wie die Nachfrage gemeint ist: F für die ganzen 7 h oder F für nur eine Stunde? Dort steht halt F / h. Die werden aber nicht verkauft, sondern vermietet. Man müsste also noch wissen, wann ein Fahrrad wieder zurückkommt, um entscheiden zu können, wie viele Fahrräder noch da sind. Bei meiner Rechnung bin ich davon ausgegangen, dass immer 9 F in jeder der 7 h vermietet wurden.
Danke für die Antworten, aber 3.1 und 3.2 hab ich selbst gelöst (das meinte ich mit (1+2 = ok) in der Frage!
Ich brauche eine Antwort für 3.3!
Ich habe das für einen Freund gelöst (ist eine Aufgabe für eine Aufnahmsprüfung an einer Wirtschaftsuni).Dies ist die Kopie meines Briefes an ihn:
Eine Nachfragefunktion ist (meist) eine lineare Funktion des Preises in Abhängigkeit
von der Menge – also f →p(f)
Die Abnahme der Stück pro Stunde bei Erhöhung um 1€ ist 0,25 → die Steigung ist
also -0,25
p(f) = k·f + d (lineare Funktion allgemein; f … Anzahl der Fahrräder)
f
13
p
20
siehe Angabe Beispiel 1 → in Gleichung einsetzen:
p(f) = -0,25·f + d → 20 = -0,25·13 + d → d=345
Die Nachfragefunktion lautet also: p(f) = -0,25·f + 345
Der Umsatz soll maximal werden → Umsatz = Preis × Menge
U(f) = (-0,25·f + 345) · f → Maximum!
Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe, also:
• U(f) ableiten →
• U‘(f) = 0 →
• nach f auflösen!
• F in p(f) einsetzen → ergibt den Preis
• p und f in U einsetzen → ergibt den maximalen Umsatz