bei exponentiellem Wachstum nach exponent auflösen?
Yo,
kurz nh Frage über Mathe:
Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab. Lässt man den Einfluss der Tempteratur außer Acht, so lässt sich der Luftdruck p(h) (in hPa) in Abhängigkeit von der Höhe h (in km über dem Meeresspiegel) näherungsweise durch die Gleichung p(h) = 1013 * 0,8825^h beschreiben.
a) Berechne den Luftdruck, der in einer Höhe von 10km, 20km bzw. 40km herrscht.
b) Berechne, nach wie vielen Kilometern sich der Luftdruck jeweils halbiert.
a ist einfach nur einsetzen von 10, 20 und 40 bei h, aber was soll man bei b machen?
Und wie soll man zb nach h auflösen? wenn jz zb h 10 ist, ist das ja etwa 290 als ergebnis. soll man dann die hälfte, also 145, mit 103 * 0,8825^h gleichstellen und nach h auflösen?
4 Antworten
Um eine Hochzahl runter zu bekommen, muss man die Gegenoperation des Potenzierens nehmen und das ist der Logarithmus. Welchen Logarithmus ist egal, Hauptsache man wendet ihn auf beiden Seiten an.
Rechenregel:
log a^x = x * log a
Beispiel:
p * 0,8825^h = 0,5 p
0,8825^h = 0,5
ln 0,8825^h = ln 0,5
h * ln 0,8825 = ln 0,5
h = ln 0,5 / ln 0,8825 = 5,545 km
Der Luftdruck halbiert sich, wenn gilt: 0.8825^h = 1/2
Nach h auflösen:
ln ( 0.8825^h ) = ln ( 1/2 )
h * ln ( 0.8825 ) = ln ( 1/2 )
h = ln ( 1/2 ) / ln ( 0.8825 ) ~ 5.545 km
Bei Teil b willst du wissen, wann sich der Luftdruck halbiert. Das machst du so:
1. Setze den halben Anfangsdruck (1013 hPa geteilt durch 2) in die Luftdruckformel ein.
2. Löse die Gleichung nach \(h\) auf, indem du beide Seiten logarithmierst.
3. Formel dafür: \( h = \frac{\log(0,5)}{\log(0,8825)} \).
Ergebnis: Der Luftdruck halbiert sich etwa alle 5.55 Kilometer.
Für b musst du den Logarithmus nehmen.
Du suchst die Lösung für
0,8825^h = 0,5
h = log (0,5) / log (0,8825)