Das auf dem Bild ist ein Koaxialkabel, also verfügt der Router über ein integriertes Modem. Normalerweise sind Kabelmodems für eine stationäre Verwendung vorgesehen und sollten nicht einfach so von A nach B bewegt werden.

Dass es in der anderen Wohnung trotzdem funktioniert, dürfte daran liegen, dass dort ein Anschluss des gleichen Anbieters vorhanden ist und sich die Konfiguration nicht unterscheidet.

Du könntest einmal direkt beim Anbieter nachfragen, ob so eine Verwendung problemlos möglich ist oder ob du etwas an der Konfiguration des Routers ändern solltest. Vielleicht erreichst du kompetente Mitarbeiter, die diese Frage beantworten können. Vielleicht wollen die dir aber auch nur einen 2. Router andrehen.

Alternativ könntest du den Router einfach in der anderen Wohnung verwenden. Falls du durch eine falsche Konfiguration aber Störungen im Netz verursachst, könnte es sehr teuer werden.