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Das kannst du nicht verhindern. Der Jagdtrieb ist der Katze angeboren. Sie sieht darin nichts "Böses".
Dass sie dir ihre Beute bringt, ist ein Zeichen ihrer Fürsorge und Zuneigung. Es ist ihr letztlich egal, ob du ihr Geschenk einfach in den Müll tust oder irgendwo aufbahrst. Sie geht vermutlich davon aus, dass du es aufisst, so wie sie es mit dem Futter macht, das du ihr gibst.
Lass deine Katze halt gewähren. Bestrafung würde sie nicht verstehen. Einsperren geht auch nicht - vielleicht tagsüber zu Zeiten, wenn es die meisten flüggen Jungvögel gibt, sofern das geht.
Für die Population der Vögel, Mäuse, Eidechsen ist es unschädlich, wenn mal ein Junges einer Katze zum Opfer fällt, oder einem Greifvogel, Fuchs oder Marder. Was ihnen wirklich zusetzt, ist der Verlust ihres Lebensraums. Durch Zersiedlung, säuberlich gestutzte Ziergärten, industrielle Landwirtschaft.