Das ist absoluter Quatsch. Die LGBTQ-Flagge ist nicht linksextrem, sondern repräsentiert die Vielfalt und Akzeptanz von Menschen unterschiedlicher sexueller Orientierungen und Geschlechtsidentitäten.
Linksextremismus ist hingegen eine politische Ideologie, die sich durch extremistische Ansichten in Bezug auf die Wirtschaftsordnung auszeichnet. Die meisten dieser Menschen setzen sich zwar auch für LGBTQ ein, aber das heißt nicht, dass die gesamte linke Bewegung die gleichen Ansichten vertirtt, insbesondere wenn es in die politische Richtung geht.
Ich wüsste zudem nicht wie sie dir verbieten sollte, die Flagge aufzuhängen, da du damit niemandem in seiner Freiheit einschränkst bzw. in seiner Würde verletzt. Aber da würde ich sicherheitshalber doch nochmal mit jemanden Rücksprache halten, der mehr Erfahrung vom Recht hat als ich. Notfalls würde ich mich beschweren, da - no offense - solche konservativen Unglücksfälle dir nichts zu sagen haben.