Mitleid bedeutet mit dem anderen leiden, also sein Leid nachzuempfinden. Jemand sagte mal, Mitleid ist, wenn ich deinen Schmerz in meinem Herzen fühle. Fand ich eine schöne Definition.

Beileid bedeutet lediglich von seinem Leid oder insbesondere seiner Trauer Kenntnis zu nehmen und das höflich zum Ausdruck zu bringen. Es schließt nicht unbedingt ein, dass du den Schmerz des anderen nachempfindest, es schließt es aber auch nicht aus.