Rein in der Theorie könnten in der Bank Pokémon verloren gehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist aber sehr gering. Siehe auch die FAQ zur Bank, die es ganz offiziell von Nintendo gibt. ;)
Die Bank ist die einfachste Lösung, wenngleich die ein paar Euro kostet. Jahresabo abschließen, X einlegen, Pokémon in die Bank schieben und ggf. eines fangen, solltest du alle (!) auf die Bank tun wollen. Man muss immer ein Pokémon dabei haben, kann also nie sämtliche Pokémon lagern.
Dann speicherst du in der Bank, startest deinen Spielstand neu und verschiebst dir dann via Bank die Pokémon von der Box in der Bank in die Box vom Spiel. Auch dafür muss das Spiel wieder im Handheld sein.
Beachte außerdem, dass du dann nicht mehr der OT (Original Trainer) deiner alten Pokémon bist. Die Pokémon gehorchen dir also erst ab dem entsprechenden Orden. Je nach Stufe deiner Pokémon auch erst bei mehreren Orden.
Beachte außerdem, dass die Pokémon aus der Bank gelöscht werden, wenn dein Abo abläuft. Sie stehen dann zunächst noch eine Weile zur Abholung zur Verfügung. Versäumst du die, sind sie ganz weg. Aber keine Sorge, das Abo ist für ein Jahr. So lang wirst du wohl nicht für den Neuanfang brauchen. ;)
Ansonsten ist es ggf. noch wissenswert, dass die Bank nur Pokémon aufnimmt, Items können dort nicht gelagert werden. Möchtest du auch Items mitnehmen, müsstest du die tauschen. Zweiter Handheld, Kumpel? Einige wenige Pokémon gehen außerdem nicht in die Bank.