Ist zwar ein bisschen spät, aber

watashi = Ich

anata = du (bzw. "Schatz" bei Pärchen)

dake = nur / einzig

mono = Sache, Ding, Objekt

wa indiziert sozusagen das Subjekt und no ist äquivalent zu dem deutschen Possessiv. Desu ist einfach eine höfliche Form, die einen 'Fakt' indiziert, etwas das klar ist. Demnach heißt der Satz wohl wörtlich: "Bin ich dein einzigste Sache?"

Ich denke aber, es ist wohl ein feststehender Begriff wie im englischen "Am I the only one?" wobei man den Partner / Freund / Gesprächspartner fragt, ob man der einzige für den anderen sei.

MfG,

TwoHigh