Wie weit und wohin jemand mit seinem Aufenthaltstitel reisen darf, steht unter anderem im Schengener-Durchführungs-Übereinkommen (SDÜ), aber ganz sicher nicht in der Aufenthaltserlaubnis.
Mit einem Schengen-Titel darf man sich innerhalb der Schengenstaaten und außerhalb des Ausstellungsstaates 90 Tage pro Halbjahr zu Besuchszwecken aufhalten.
Zu den Schengen-Staaten gehören grob die ganze EU (außer Großbritannien) und die Schweiz. Welche Länder genau, lässt sich aber auch hervorragend googlen.
Anders wird das, wenn man einen EU-Daueraufenthaltstitel (nicht unbedingt Niederlassungserlaubnis) hat. Dann kann man auch, ohne vorangegangenes Visaverfahren im jeweiligen EU-Land eine Aufenthaltserlaubnis beantragen, um dort z.B. zu arbeiten, aber auch, um dort einfach zu leben, wenn man über das nötige Geld anderweitig verfügt.
Mit einer deutschen Aufenthaltserlaubnis kannst du dich also innerhalb von 6 Monaten 90 Tage im Schengen-Raum frei bewegen.