Nein du kannst dir nur welche mieten.
Bei der Chocobo-Ranch kannst du ja dein Chocobo einfärben und einen Namen geben, allerdings ist es nie dein eigener sondern, wie gesagt, nur zum mieten.
Wenn du den schwarzen Chocobo bei einer Mission gerettet hast, dann ist er dass ganze Spiel über nur ein Küken (anfangs ist es sogar nur ein Ei)
Allerdings kommt das schwarze Chocobo auch in der Mehrspieler Erweiterung: Gefährten vor. Dort ist er ausgewachsen , aber reiten (soweit ich weiß, kann aber sein dass es noch kommt, da bin ich nämlich noch nicht durch mit der „Geschichte“) kannst du ihn auch dort nicht.