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Antwort
Schon mal etwas vom Satz von l'Hospital gehört? :) Den wendet man hier an, weil wir einen Quotienten haben und den Grenzwert haben wollen, den man mit einer Null im Nenner nicht bilden kann (grob gesagt).
Wir nennen mal das im Zähler f(h) und das im Zähler g(h), also:
f(h) = a^h - 1 und g(h) = h
Nach dem Satz leiten wir nun beides getrennt ab, und es ergibt sich:
f'(h)= ln(a)*a^h ... (wenn du nicht weißt, warum, schau nochmal in die Ableitungsregeln)
g'(h) = 1
Jetzt setzen wir das wieder in den Bruch ein und erhalten:
lim(h->0) [ ln(a)*a^h / 1 ]
Wenn wir h gegen null laufen lassen, wird a^h = 1 (da a^0=1) und es ergibt sich nur noch
ln(a)*1 / 1 ] = ln(a)
Wenn es dich interessiert:
http://www.mathebibel.de/regel-von-lhospital
LG