Einfach mal zum Mitdenken.
Es wird 0,33 l Eistee mit 50mg Koffein getrunken. Nennen wir das den Zeitpunkt 0.
Nach 1 Stunde beginnt der Abbau, das heisst, nach 1 Stunde ist der Koffeingehalt im Blut noch die volle Dosis (50mg).
"Halbwertszeit von 3 Stunden" bedeutet, dass alle 3 Stunden der Gehalt halbiert wird. Also ist nach 4 Stunden der Gehalt im Blut noch 25mg, nach 7 Stunden beträgt er 12,5mg etc.
Nun zur Berechnung - wir wollen ja nicht alle 3 Stunden halbieren und den Vorgang wiederholen, bis 0,01 mg erscheint, nicht wahr? ;)
Nehmen wir eine Formel zur Hand. Als Funktion zum Zeitpunkt t heisst das, man nimmt den Ausgangswert und multipliziert ihn mit dem Faktor der Verringerung hoch Zeit.
f(t) = a * b ^ t
Dabei sei gegeben: a = Ausgangswert (a=50mg)
b^t= Änderungsrate (0,5 hoch 3, weil es ja alle 3 Stunden immer halbiert wird)
t= Zeit in Stunden
Zum Zeitpunkt t = 0 ist a = 50mg.
Der Einfachheit halber ignoriere ich mal, dass in der 1. Stunde nichts geschieht, das kann man am Ende hinzufügen.
Nun wissen wir: Alle 3 Stunden halbiert sich der Gehalt im Blut.
f(3) = 50 * b ^ 3 = 25
Das Lösen wir nach b auf und erhalten für b den Wert 0,793... (also die dritte Wurzel aus 0,5)
Wir wollen wissen, wann 0,01mg erreicht sind, also:
f(t) = 50 * 0,793 ^ t = 0,01
Formuliere es um und löse nach t auf. (Logarithmus ist dir ein Begriff?)
Das ergibt dann ein Ergebnis von t=36,863... Stunden. Füge die erste Stunde (siehe ganz oben) noch hinzu, in der nichts geschehen ist. Es dauert also 37 Stunden 51 Minuten und 47 Sekunden, bis der Koffeingehalt auf 0,01mg gesunken ist.
Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet. Sonst, viel Glück. ;)
