Der Trägheitssatz (1. Newtonsche Gesetz) besagt, dass ein Körper, solange keine externe Kraft auf ihn wirkt, in seinem Zustand der Ruhe oder Gleichförmigen Bewegung verbleibt. Das Impulserhaltungsgesetz besagt, dass der Impuls eines geschlossenen Systems konstant bleibt, solange keine externe Kraft auf das System wirkt.

Beide Gesetze sind also eng miteinander verbunden, da sie beschreiben, dass ein Körper oder System, solange keine externe Kraft auf ihn wirkt, seinen Zustand beibehält.

Okay, also du hast zwei Wagen, einen mit m=3kg und v=2m/s und den anderen mit v=0 und einer unbekannten Masse. Im dritten Teil der Aufgabe sollst du nun die Masse des zweiten Wagens so wählen, dass beide Wagen nach dem Zusammenstoß mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit von 2cm/s = 0,02m/s weiterfahren. Dein Ansatz war es, mithilfe der Impulserhaltung eine Formel aufzustellen, um die Masse des zweiten Wagens zu bestimmen.

Um die Masse des zweiten Wagens zu bestimmen, kannst du die Impulserhaltung verwenden. Da die Gesamtmasse und die Gesamtgeschwindigkeit nach dem Zusammenstoß bekannt sind (m1 + m2 = 3 kg und v' = 0,02 m/s), kannst du die Gleichung m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v' + m2 * v' verwenden, um nach m2 aufzulösen.

Da v1 = 2 m/s und v2 = 0 ist, kannst du die Gleichung wie folgt umstellen:

3 kg * 0,02 m/s = 2 m/s * m1 + 0 * m2

Da m1 bekannt ist (3 kg), kannst du m2 einfach berechnen:

m2 = (3 kg * 0,02 m/s - 2 m/s * 3 kg) / 0 = 0,06 kg

Daher hat der zweite Wagen eine Masse von 0,06 kg.

Das Implantat besteht aus einer Halbkugel und einem angesetzten Kegel. Um das Volumen des Implantats zu berechnen, müssen wir das Volumen der Halbkugel und des Kegels berechnen und diese beiden Werte addieren.

Das Volumen einer Halbkugel mit Radius R ist: (2/3) * pi * R^3

Das Volumen eines Kegels mit Grundfläche R^2 und Höhe H ist: (1/3) * pi * R^2 * H

Da die Kegelhöhe gleich dem Kugelradius ist (40 mm), können wir diese Werte in die Formeln einsetzen:

Volumen der Halbkugel = (2/3) * pi * (40 mm)^3 = (2/3) * pi * 640000 mm^3

Volumen des Kegels = (1/3) * pi * (40 mm)^2 * 40 mm = (1/3) * pi * 64000 mm^3

Das Gesamtvolumen des Implantats ist die Summe der beiden Volumina:

Volumen des Implantats = Volumen der Halbkugel + Volumen des Kegels = (2/3) * pi * 640000 mm^3 + (1/3) * pi * 64000 mm^3

Da 1 Liter = 1000 cm^3 und 1cm = 10 mm, beträgt das Volumen des Implantats 0.2 L.

(a) Um zu beweisen, dass V ⊆ M2(IR) ein Untervektorraum ist, musst du zeigen, dass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation innerhalb von V definiert sind und die folgenden Eigenschaften erfüllen:

• V ist assoziativ bezüglich der Vektoraddition
• Es gibt einen Vektor 0 in V, so dass für jeden Vektor v in V gilt: v + 0 = v
• Für jeden Vektor v in V gibt es einen Vektor -v in V, so dass für jeden Vektor u in V gilt: u + (-v) = u - v = 0
• V ist distributiv bezüglich der Skalarmultiplikation und der Vektoraddition

Da V die Menge der Matrizen ist, für die der Vektor (1 2) im Kern liegt, ist die Struktur der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation aus M2(IR) vorhanden. Um zu zeigen, dass 0 in V liegt, kannst du zeigen, dass die Matrix 0 * (1 2) = (0 0) im Kern von (1 2) liegt, also in V enthalten ist.

(b) Um die Dimension von V zu bestimmen, musst du die Anzahl der unabhängigen Vektoren in einer Basis von V bestimmen. Da V die Menge der Matrizen ist, für die der Vektor (1 2) im Kern liegt, kannst du zeigen, dass die Dimension von V Null ist, da es keine unabhängigen Vektoren in V gibt.

(c) Analog zu Teil a) kannst du beweisen, dass W ⊆ M2(IR) ein Untervektorraum ist, indem du zeigst, dass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation innerhalb von W definiert sind und die oben genannten Eigenschaften erfüllen.

(d) Um die Dimension von W zu bestimmen, musst du die Anzahl der unabhängigen Vektoren in einer Basis von W bestimmen. Da W die Menge der Matrizen ist, für die der Vektor (1 2) ein Eigenvektor ist, kannst du zeigen, dass die Dimension von W 1 ist, da es genau einen unabhängigen Vektor in W gibt.

Um eine maximale Gesamtproduktion zu erzielen, müssen die Bäckereien B1 und B2 so viele Laibe Brot herstellen, wie es die verfügbaren Rohstoffmengen zulassen.

B1 benötigt für einen Laib Brot:

• 1/3 kg Roggenmehl
• 2 kg Weizenmehl
• 0 kg Dinkelmehl

B2 benötigt für einen Laib Brot:

• 1 kg Roggenmehl
• 0,8 kg Weizenmehl
• 2 kg Dinkelmehl

300 kg Roggenmehl / (1/3 kg Roggenmehl pro Laib Brot) = 900 Laibe Brot

500 kg Weizenmehl / (2 kg Weizenmehl pro Laib Brot) = 250 Laibe Brot

900 Laibe Brot und 250 Laibe Brot sind die beiden begrenzenden Faktoren, daher kann B1 höchstens 250 Laibe Brot herstellen.

300 kg Roggenmehl / (1 kg Roggenmehl pro Laib Brot) = 300 Laibe Brot

500 kg Weizenmehl / (0,8 kg Weizenmehl pro Laib Brot) = 625 Laibe Brot

600 kg Dinkelmehl / (2 kg Dinkelmehl pro Laib Brot) = 300 Laibe Brot

300 Laibe Brot und 625 Laibe Brot sind die beiden begrenzenden Faktoren, daher kann B2 höchstens 300 Laibe Brot herstellen.

Wärmeverlust = λ * A * (T1 - T2) / x

wobei λ die Wärmeleitfähigkeit des Betons, A die Fläche der Platte, T1 die Außentemperatur, T2 die Innentemperatur und x die Dicke der Platte sind.

In diesem Fall beträgt der Wärmeverlust:

Wärmeverlust = 2,1 W/(m*K) * 20 m² * (268 K - 293 K) / 0.2 m = -1716.0 W

Da die Innentemperatur höher ist als die Außentemperatur, ist der Wärmeverlust negativ, das bedeutet dass es einen Wärmegewinn gibt.

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte und alles richtig verstanden habe :)