Ob Lehrer Pädagogen sind, wage ich bei der deutschen Lehrerausbildung doch ein wenig zu bezweifeln. (Habe selber Pädagogik studiert).
Pädagogen arbeiten üblicherweise in allen Bildungsbereichen (Kindergarten, Schule, Uni, Weiterbildungsinstitute oder als freie Trainer und Coaches), in Ämtern (Jugendamt, Ausländeramt, Arbeitsamt, Schulamt usw.), bei Sportvereinen und Jugendverbänden, in diversen Freizeiteinrichtungen (OffeneTür, Jugendclubs, Animation im Cluburlaub), Behinderteneinrichtungen, "Erziehungsheime", Schul- und Kinderbuchverlage, Museen, Ausbildungseinrichtungen, Berufsorientierung usw. Eigentlich gibt es kaum einen Bereich, in dem nicht Pädagogen sein könnten ;-)

Die Frage nach dem Gegenstand der Pädagogik ist nicht so einfach:
zunächst gehört Pädagogik zu den Human- und Geisteswissenschaften, die sich mit de Menschen beschäftigen.
Pädagogen waren im antiken Griechenland Sklaven, die Kinder und Jugendliche unterrichteten (so Sport, Kunst, Philosophie).
Heute ist Pädagogik die Wissenschaft von der Erziehung (Kinder) und Bildung (Jugendliche und Erwachsenen). Eng verknüpft ist sie mit Psychologie, Soziologie, Humanbiologie un Humanmedizin und Philosophie.
Ein (Forschungs-)Gegenstand der Pädagogik wäre also die Frage, welche Größe sollten Lerngruppen haben um Lernen optimal zu gewährleisten?