Steam ist nach dem Schließen weiterhin geöffnet. Du findest das Symbol normalerweise in der Taskleiste.
Geh einfach mal in den Taskmanager und beende alle Tasks die was mit Steam zu tun haben.
Anschließend nochmal öffnen und bescheid geben, ob‘s geklappt hat ;)
LG
PS: Aktivier einfach mal die „System-Tray“ Icons, um die Apps, welche sich eben nicht nach dem schließen „richtig“ schließen zu sehen. Oft kommt es zu Problemen, wenn man eine Anwendung als System Tray laufen hat und diese erneut mehrmals öffnet. Bei League of Legends ist es z.B. so, dass nach dem Schließen das Fenster zwar weg ist, aber noch Daten übermittelt werden. Sollte man die Anwendung also beenden und sofort wieder starten, hängt sich quasi alles auf und man muss im Taskmanager alle zugehörigen Tasks beenden.
