Erst einmal vielen Dank für eure Antworten! Hier nun die Auflösung:

Die Kabel und Stecker hatte ich noch selber überprüft, aber keinerlei Beschädigungen feststellen können. Daraufhin hatte ich dann einen Fachmann bestellt. Der legte als erstes neue Batterien ein, was aber nichts brachte. Dann hat er, ebenso wie Patilla9, auf den Wasserschalter getippt, diesen für 150 Euro bestellt, eingebaut und ... keine Besserung. :-(

Danach hat er zwei Stunden lang planlos überall herumgeschraubt, probiert und trotzdem keine Ahnung bekommen, woran es liegen könnte. Nachdem ich ihn überzeugen konnte, doch endlich mal die Experten-Hotline von Vaillant anzurufen, war die Lösung innerhalb von nur zwei Minuten gefunden: es lag letztendlich an einem defekten Gasregelventil (hinten, links unten), welches bei diesen Symptomen angeblich zu 99% die Ursache ist. Nach dessen Austausch funktioniert mein Durchlaufwasserheizer nun wieder. :-)

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