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Die Lösung ist 21978 also:
A = 2
B = 1
C = 9
D = 7
E = 8

Lösungsweg:
1. Zahl 2. Zahl
4 *ABCDE = EDCBA

Da die Zahl die sich ergibt genau gleich viele Stellen hat wie die Ursprüngliche, kann A nur 1 oder 2 sein. Die 1 schließt sich aus, weil es keine Zahl gibt die mit 4 multipliziert eine 1 im Einerbereich stehen hat. 
A = 2.

E kann nur 3 oder 8 sein, da diese Zahlen multipliziert mit 4 eine 2 im Einerbereich stehen haben. Die 3 schließt sich aus, da wir A schon haben und somit die erste Stelle, also E, größer oder gleich 4 * A sein muss. 
E = 8.

Nun muss B eine Zahl sein, die multipliziert mit 4 weniger als 10 ergibt, sodass sie unseren Stellenwert A nicht beeinflusst. Die einzig mögliche Zahl ist also die 1, da wir die 2 schon verwenden. 
B = 1.

Nun geht es an die Stelle D. In der 2. Zahl steht hinten 12 ( B=1, A=2).
D muss also so gewählt werden, dass eine 8 im Einer entsteht 
( E=8, 4*8 = 32, 8 + 3 = ...1 ). Zur Wahl steht nur noch die 7 ( A = 2).
D = 7.

Nun fehlt nurnoch C. Wir wissen, dass die 2. Stelle der 2. Zahl eine 7 ist 
( D = 7 ). C muss also eine Zahl sein, die eine 3 im Zehnerbereich stehen hat ( 4 * B = 84, 4 + 3 = 7 ). Da die 8 schon verwendet wird, bleibt nurnoch die 9 übrig. 
C = 9.

Hoffe der Lösungsweg ist einigermaßen verständlich