Was ist mit Orthogonalität und Normiertheit bei der Wellenfunktion der Schrödinger Gleichung gemeint?
Ist damit gemeint dass sich Wellenfunktionen wenn man sie addiert entweder bindend oder antibindent verhalten?
3 Antworten
Bei Vektoren u, v des R³ (der übrigens ein Hilbertraum ist, da ein Skalarprodukt definiert und er vollständig ist, wer sagt, dass ein Hilbertraum abstrakt und unanschaulich sein müsse?) ist Orthogonalität dadurch definiert, dass ihr Skalarprodukt
(1.1) u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = 0
ist. Anschaulich stehen die Vektoren dann in einem rechten Winkel aufeinander. Normiert heißt ein Vektor v, wenn seine Norm
(1.2) |v| = √{v·v} = √{v₁² + v₂² + v₃²} = 1
ist. Orthonormiert sind sie, wenn (1.1) und für beide Vektoren einzeln (1.2) gilt.
Die Wellenfunktion ist als Vektor in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum über C aufzufassen, bei denen die Summe in ein Integral übergeht. Zwei Wellenfunktionen ϕ(x,t) und ψ(x,t) heißen orthogonal, wenn
(2.1) ∫ d³x ϕ*(x,t)·ψ(x,t) = 0
und eine Wellenfunktion normiert
(2.2) ∫ d³x ψ*(x,t)·ψ(x,t) = ∫ d³x |ψ(x,t)|² = 1,
was die Interpretation von |ψ(x,t)|² selbst als Wahrscheinlichkeitsdichte möglich macht, ein Teilchen am Ort x zu lokalisieren. Orthogonalität bedeutet, dass es sich um zwei definitiv verschiedene Zustände handelt. Wenn man aus zwei solchen Zuständen einen dritten kombiniert, ist der zu keinem der beiden Ausgangszustände orthogonal, also jedem der beiden gleichsam näher als sie sich untereinander. Mit bindend und antibindend hat das erst einmal nichts zu tun.
Die Wellenvektoren sind ja Elemente eines Hilbertraumes, das heißt es ist ein Skalarprodukt definiert und damit auch Orthogonalität (Psi1 und Psi2 sind orthogonal <=> <Psi1|Psi2> = 0) und eine Norm (vom Skalarprodukt induziert): ||Psi|| = Wurzel(<Psi1|Psi1>). Jetzt werden die Wellenfunktionen so mit einem geigneten Faktor multipliziert (normiert), dass stets ||Psi||=1 gilt.
normiert:
Integral d³x |Psi(x)|² = 1
orthogonal:
Integral d³x Psi1*(x) Psi2(x) = 0
Bei der Normierheit heißt es, dass in einem Raum (sprich den gesamten Raum), die Wahrscheinlichkeit das Teilchen zu finden gleich 1 ist sprich 100%.
orthognonal:
Die Wellenfuktionen bilden einen Vektorraum. Das Integral ist ein Skalarprodukt der Vektoren. 0 bei einem Skalar, beudeut, dass die Vektoren jeweils senkrecht auf einander stehen (deswegen ja orthogonal)
wenn ein zustand normiert ist bedeutet das dass die wahrscheinlichkeit bei einer messung irgendein ergebnis zu erhalten gleich 1 ist.
wenn zwei zustände orthogonal sind dann verschwindet die übergangswahrscheinlichkeit, d.h. wenn das system im zustand 1 präpariert ist dann erhalte ich bei einer messung niemals den zustand 2 als ergebnis, wenn zustand 1 und 2 orthogonal sind.
Was bedeutet das dann wenn 1 oder 0 als ergebnis rauskommt?