Warum haben Photonen keine Masse obwohl sie Energie haben?

Da Photonen eine Energie, nämlich Eₚₕ=ħω und einen Impuls pₚₕ=ħk haben (k ist der Wellenvektor) und kann man ihnen eine »Energie-Masse« ħω/c² bzw. eine (mit ihr identische) Impulsmasse ħ|k|/c zuschreiben.

Es ist aber grob vereinfachend, dies einfach als »die Masse mₚₕ des Photons« zu bezeichnen. Um die Frage wirklich zu beantworten, muss man erst einmal die folgende Frage beantworten: Was ist Masse überhaupt?

Das ist im Rahmen der Relativitätstheorie nämlich etwas tricky und hängt vom Wording ab.

Unsere erste Bekanntschaft mit der Masse m läuft gewöhnlich über das Gewicht F_g, das gern auch mit der Masse verwechselt wird, weil die Gravitations-Feldstärke g an der Erdoberfläche sozusagen »zufällig« überall ungefähr denselben Betrag hat. Das Gewicht ist aber der Betrag einer Kraft

(1) F_g = m·g,

die erst durch das Zusammenspiel von g mit der (schweren) Masse m erzeugt wird, die somit als Gravitations-Ladung bezeichnet werden kann und eine Eigenschaft des Körpers selbst ist.

Schon Galilei erkannte, dass g alle Körper gleich stark beschleunigt, also eine Beschleunigung ist, was daran liegt, dass zur selben Masse m auch die für die Änderung der Geschwindigkeit v relativ zu einem gegebenen Koordinatensystem K nach Galileis und Newtons Trägheitsgesetz erforderliche Kraft

(2) F = dp/dt, (p heißt Impuls und ist eine Erhaltungsgröße)

proportional ist. Für |v|= v ≪ c gilt

(3) F = m·a = m·dv/dt = m·d²x/dt²,

sodass sich durch Vergleich von (3) mit (2) p = m·v und m somit als Impulsmasse ergibt.

Aus dem berühmten Lichtuhr-Gedankenexperiment und der Forderung der Invarianz von c ergibt sich, dass eine in K ruhende Uhr in einem relativ zu K mit v, |v|=v=:β·c bewegten Koordinatensystem K' um den Lorentz-Faktor

(4) γ = 1/√{1 – β²}

langsamer gehen und eine Geschwindigkeit u⟂v relativ zu K in K' gleich –v+u/γ sein muss - und umgekehrt.Davon ausgehend führen Stoß-Gedankenexperimente und der Impulssatz zu dem Schluss, dass ein in K ruhender Körper der Masse m in K' eine Impulsmasse mγ haben muss und umgekehrt.

Diese wird gelegentlich unter der Bezeichnung m die »relativistische Masse« und m unter der Bezeichnung m₀ als »Ruhemasse« genannt; man könnte auch »Eigenmasse« dazu sagen.So einfach ist das aber nicht, denn wenn man sich auf dieses Wording einlässt, wird »m« streng genommen zum Tensor mit einer longitudinalen Komponente mγ³, denn bei Beschleunigungen parallel zu v tritt bei der Kraft gemäß (2) ein Term vd»m«/dt auf, der »Massenzuwachs« eben.

Der modernere Weg ist der, die Eigenmasse die Masse des Körpers zu nennen und darauf zu verweisen, dass sie der Proportionalitätsfaktor  wischen der Vierergeschwindigkeit (γc; γv) und dem Viererimpuls (E/c; p) mit den Beträgen c=γ√(c²–v²) und mc=γ√(mc²–p²) ist.

Einen Viererimpuls haben Photonen in der Tat, nämlich (ħω/c; ħk), aber die Vierergeschwindigkeit ist in dem Sinne nicht definiert, weil γ nicht definiert ist.

Ggf. könnte man sich mit dem Kunstgriff behelfen, sich vorzustellen, die Masse des Photons und auch die Differenz seiner Geschwindigkeit zu c seien nicht exakt 0, sondern lediglich infinitesimal.

Dementsprechend wäre γ als transfinit im Sinne der Nichtstandard-Analysis anzusehen, da sie es erlaubt, mit unendlichen und infinitesimalen Größen wie mit endlichen zu rechnen. Sowohl die zeitliche als auch mindestens eine der räumlichen Komponenten der Vierergeschwindigkeit müssen dabei ebenfalls transfinit sein.

Photonen haben keine Ruhemasse.