Etwas verwirrend deine Fragen die zeigen, dass du noch ein wenig über Transistoren lernen solltest.

Und zwar ist es ja so, dass ein Strom, der an der Basis rein fließt, mit einer bestimmten Verstärkung am Collector auch fließt

Das ist bei entsprechender Beschaltung richtig.

Ist das aber nur ein Maximum? 

Nur ein Maximum? Verstehe die Frage nicht. 

Also, ist das der Strom, den der Transistor ohne Widerstand, wenn man ihn an eine ideale Spannungsquelle anschließt, schalten könnte oder fließt der Strom immer?

Transistor ohne Widerstand lebt nur im Millisekundenbereich. 

Ideale Spannungsquelle...ist eine mit null Innenwiderstand....hat damit erst mal gar nichts zu tun

...schalten könnte oder fließt der Strom immer?

fließt nicht immer, sondern abhängig vom Basisstrom. Ist ja der Sinn eines Transistors.