Ich denke, die gehen davon aus, dass die variablen Kosten eine nach oben geöffnete Parabel ist, die ihren Scheitelpunkt bei 120 hat. Das heißt, im günstigen Fall gibt es gar keine variablen Kosten mehr. Das heißt, wir nehmen eine nach rechts verschobene (b ist negativ), nach oben geöffnete (a ist postiv) Normalparabel und verschieben sie um 120 nach oben.

K(x) = a(x+b)²+120

E(x) = 90x

G(x) = E(x) - K(x)

= 90x - a(x+b)² -120

= 90x - ax² - 2abx - ab² - 120

= -ax² + (90-2ab)x + (120-ab²)

Die Erlösfunktion ist also auch eine quadratische Funktion. Für sie gilt, wie du schon sagtest:

E(x) = c(x-2)(x-12)

= c(x²-4x+24)

= cx² - 4cx + 24c

Jetzt können wir die Koeffizienten gleichsetzen, um c zu bestimmen.

(1) c = -a <=> -c = a

(2) -4c = 90-2ab

(3) 24c = 120-ab²

Wir setzen -c für a ein, um a loszuwerden.

-4c = 90+2bc <=> -4c-90 = 2cb <=> -2-45/c = b <=> 4 - 180/c + 45²/c² = b²

24c = 120+b²c <=> 24c-120 = b²c <=> 24-120/c = b²

Wir setzen die beiden Gleichungen gleich, um b loszuwerden.

4 - 180/c + 45²/c² = 24-120/c

<=> 4c² - 180c + 45² = 24c² - 120c

<=> 20c² + 60c - 45² = 0

<=> c² + 3c - 405/4 = 0

<=> c1,2 = -3/2 +- 3*sqrt(46)/2

Da a positiv ist muss c negativ sein, also

c = -3(sqrt(46) + 1)/2

Die Erlösfunktion ist daher:

E(x) = -3(sqrt(46) + 1)(x-2)(x-12)/2