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Antwort
Es gibt eine spezielle Schufa Auskunft für den Mietvertrag.
https://schufa.de/themenportal/detailseite/themenportal-detailseite.9664.jsp
Die normale Schufa Auskunft geht den Vermieter nichts an.
Drohe dem Vermieter, das anzuzeigen, wenn er dich zwingt. Lass Dir das dazu möglichst schriftlich geben, das er das will. Dann hast Du ihn am Wickel und kannst ihn bei der Polizei anzeigen.