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Der Name kommt vom Volk der Sachsen, die um 750 in der Gegend des heutigen Niedersachsen lebte. Diese wurden durch den Karolinger Karl (Frankenreich) erobert.
In dieser Gegend bildete sich das Stammesherzogtum Sachsen heraus. Ein bekannter Herrscher war Heinrich der Löwe ( Welfe). Der verlor gegen die Staufer. Der Herzogtitel ging an die Askanier, die ihr Machtzentrum u.a. in Wittenberg hatten, so dass diese Region jetzt auch Sachsen hiess.
Im weiteren Verlauf bildete sich über Umwege das Kurfürstentum Sachsen heraus, welches die Basis des heutigen Bundeslandes bildet
Sachsen-Anhalt enthält die Gebiete des Herzogtums Anhalt sowie die Gebiete Sachsens, die 1815 als Provinz Sachsen an Preussen fielen ( in etwa). Daher der Name.
Niedersachsen wiederum ist das eigentliche Gebiet des alten Stammesherzogtums Sachsen ( immer in etwa natürlich), daher der Name.
Ich hab einiges weggelassen. :)