Wenn du ins Innere der Erde gehst, dann nimmst die Schwerkraft ab. Wenn du auf der Oberfläche stehst, dann ist die komplette unter dir und zieht dich nach unten. In dem 1000 km tiefen Loch aus dem ersten Aufgabenteil hast du dann 1000 km Erde über dir, und etwas weniger Erde unter dir. Somit wirst du nicht mehr so stark nach unten gezogen, und auch von der Erde über dir etwas nach oben. Dadurch ist effektiv die Schwerkraft geringer. Ganz extrem ist es im Mittelpunkt der Erde. Dort wäre man schwerelos, weil in alle Richtungen die gleiche Menge Material an einem zieht, die Kräfte heben sich aber auf.
Es ist ein lustiger Effekt der 1/r² Beziehung der Schwerkraft, durch den man bei einer Kugel nur das Material der inneren Kugel betrachten muss. Das kann man durch Integrieren zeigen, aber können wir hier als gegeben betrachten.
Die Schwerkraft verhält sich mit Erdmasse M, Testmasse m, Gravitationskonstante G und Abstand zum Erdmittelpunkt r wie F = G M m / r². Wir können auch noch durch die Testmasse m teilen und erhalten dann die Beschleunigung a = F / m = G M / r². Das ist für unsere Anwendung das interessante.
Wenn wir auf der Erdoberfläche stehen, dann müssen wir grob den Erdradius von r = 6300 km einsetzen. Als Masse setzen wir 6,0 × 10²⁴ kg ein. Damit erhalten wir dann grob den bekannten Ortsfaktor von a = 9,8 m/s².
Ist man 1000 km tief in der Erde, so muss man für r anstelle von 6300 km dann 5300 km einsetzen. Allerdings muss sich auch das M ändern! Wir müssen uns überlegen, wie das geht. Im Text steht »homogene Massenverteilung«. Wir können also einfach eine gleichmäßige Dichte rho = M / V annehmen. Aber was ist das Volumen V? Da die Erde eine Kugel mit Radius r ist, haben wir V = 4 pi r³/3. Da wir rho als konstant annehmen können, haben wir dann die Masse in Abhängigkeit des Radius:
M(r) = rho × 4 pi r³ / 3 .
Dies können wir in die Gravitationskraft einsetzen und erhalten die Beschleunigung in Abhängigkeit des Radius:
a(r) = G × rho × 4 pi r³ / (3 r²) = G rho 4 pi r / 3 .
Wir sehen also, dass die Schwerkraft linear abnimmt, wenn wir wir in die Erde eindringen. Das ist auch das Ergebnis, was ich noch aus dem Studium im Kopf habe.