Das ist bei den meisten Verbindungen eigentlich kein Problem. Burschenschaften selbst nehmen meist nur Deutsche auf (einige wenige machen es an der Abstammung fest, die allermeisten jedoch an der Staatsbürgerschaft), Religion spielt bei ihnen auch keine Rolle.

Bei christlichen Verbindungen spielt die Nationalität dagegen überhaupt keine Rolle, wichtiger ist in den meisten Fällen das Bekenntnis zum Christentum (zumindest beim Cartellverband dass man römisch-katholisch getauft ist).

Bei Landsmannschaften, Turnerschaften oder Corps besteht in der Regel keine Bindung an religiöse Überzeugungen oder die deutsche Staatsangehörigkeit.

Grundgedanke der Urburschenschaft, auf die sich nahezu jede spätere Burschenschaft beruft, war ein vereinigtes, demokratisches und bürgerrechtliches deutsches Vaterland. Entsprechend saßen auch im ersten deutschen Parlament von 1848 (Frankfurter Nationalversammlung) viele Burschenschafter aus ganz Deutschland (sog. "Burschenschafterparlament").

Vorangegangen waren die Napoleonischen Befreiungskriege, die bei vielen jungen und gebildeten Männern den Wunsch nach mehr nationaler Souveränität und Mitbestimmung entwickelten. So gründeten Studenten in Jena (viele davon gehörten zuvor dem Lützow'schen Freikorps an) die Urburschenschaft, die darüber hinaus die bis dato verbreitete Aufteilung in Landsmannschaften unter den Studenten überwinden sollte, um ein geeintes Vaterland anzustreben.

Oder welche nationale Einigung ist gemeint? Ab 1871 änderten sich nämlich die Bestrebungen innerhalb der burschenschaftlichen Bewegung stark.

Auch heute ist es noch üblich, dass bei Hochzeiten und Beerdigungen von Mitgliedern einer Studentenverbindung die Chargia (der amtierende Vorstand der aktiven Mitglieder) "chargiert" - das bedeutet, dass die Chargia im Vollwichs (der von dir beschriebenen Uniform) mit Schlägern Spalier steht.
Die Angaben zu schwarzen Stiefeln, weißer Hose und Handschuhe sowie "kleine Kappe" (sog. Cerevis) sind leider recht unpräzise (fast jeder Chargenwichs von Studentenverbindungen sieht in dieser Farbgebung so aus).
Wenn du aber weißt oder in Erfahrung bringen kannst, in welcher Stadt dein Verwandter studiert hat, könnte man relativ leicht herausfinden, in welchem Bund er Mitglied war. Die Farbkombination weiß-blau-orange kann da schnell Aufschluss geben, da diese nicht all zu häufig vorkommt.

Ich denke, ganz prägendes Eintrittskriterium bei vielen Verbindungsstudenten ist entweder eine besondere Freundschaft zu den aktiven Mitgliedern, eine familiäre "Vorbelastung" durch Vater/Großvater etc. oder eine weltanschauliche (politische/religiöse/etc.) Überzeugung bzw. eine Kombination aus diesen Kriterien.
Ansonsten mal wieder Vorsicht: in den ganzen Antworten hier war sehr viel gefährliches Halbwissen....