Mein Hund macht sein Geschäft nachdem Gassi gehen in der Wohnung

Wir haben den kleinen nun seit 2Wochen. Er hatte bereits einen Vorbesitzer, der ihn aber abgeben musste. Ich bezweifle, dass der sich um die Erziehung gekümmert hat. Nun ist der kleine eigentlich ganz ruhig und macht auch keine unerzogenen Sachen, er hat bereits sehr schnell gelernt, sitz platz und er hört auch schon, wenn man ihn ruft. Nun gibt es noch das Problem mit dem Gassi gehen. Er ist noch sehr an zuhause gebunden, man muss ihn meist 100-200m tragen, damit er auch wirklich nicht mehr nachhause will. Wir sind öfters mal 1-2std unterwegs, wenn es dann nachhause geht, zieht er an der Leine und will so schnell wie möglich nachhause. Kaum drinnen angekommen geht es zur Terrassentür auf die Fußmatte um dort sein Geschäft zu verrichten, weil wir das nun schon kennen tragen wir ihn schnell raus. Sobald er draußen ist muss er aber nicht. Einigemale hat er auch draußen im Garten etwas gemacht, dafür wurde er auch sofort belohnt. Ist das normal das er trotzdem immer alles drinnen machen möchte? Wir haben Angst weil er ja auch schon fast ein halbes Jahr alt ist.
Würde mich über Ratschläge freuen und/oder über ähnliche Geschichten.