Fristlose Kündigung der Ausbildung, obwohl eindeutiger Beweis gegen Kündigungsgrund, was tun?

Hallo liebe Community. Ich habe seit heute morgen ein Problem mit meiner Ausbildung habe, was meiner Meinung nach nicht rechtens zu geht.

Neben meiner Ausbildung muss ich momentan nebenjoblich arbeiten, um meinen Lebensunterhalt finanzieren zu können. Darüber ist mein Chef auch informiert. Bei meinem Nebenjob ist es gängig, dass wenn man die gesetzlich maximale Arbeitszeit pro Tag überschritten hat, die Stunden die darüber hinaus gehen einfach auf einen anderen Tag schreibt, damit es keine Probleme bei der Abrechnung gibt. Solch einen Stundenzettel des Nebenjobs hatte ich blöderweise an meinem Arbeitsplatz des Ausbildungsbetriebs liegen gelassen.

Heute morgen hat mir mein Chef eine fristlose Kündigung vorgelegt, mit der Begründung: am 20.12.17 hat der Auszubildende angegeben, bis 17:10 Uhr im Ausbildungsbetrieb tätig gewesen zu sein, tatsächlich war er aber schon ab 15:30 Uhr bei der Firma XY tätig. Die Stundenzettel (der Firma des Nebenjobs) wurden zufällig am Arbeitsplatz des Auszubildenden gefunden.

Die Arbeitszeiten überschneiden sich laut des Stundenzettels mit denen meiner Arbeitszeit im Ausbildungsbetrieb, da ich paar Stunden des Nebenjobs auf einen anderen Tag verlegt hatte. Ich war nie während der Arbeitszeit im Ausbildungsbetrieb nebenjoblich tätig! Das habe ich auch so meinem aufgebrausten Chef erklärt. Dieser schrieb dann per Hand auf ein Blatt (siehe Anhang), dass ich beweisen sollte, dass ich keine Fehlzeiten in der Berufsschule habe und ihm alle Stunden des Nebenjobs vorweisen muss. Er meinte ich soll das unterschreiben, dann sagte er, dass ich vorerst beurlaubt sei. Da ich leider bisschen unter Schock stand, ist mir zu spät aufgefallen, dass er die Punkte, die er per Hand aufgeschrieben hat, auf das zweite Blatt der Kündigung geschrieben hat, auf dem die Empfangsbestätigung der Kündigung steht. So gesehen habe ich wohl leider auch die Empfangsbestätigung damit unterschrieben, was meines Verständnisses allerdings nur heißt, dass ich es "empfangen habe", das heißt ja nicht, dass ich auch mit der Kündigung einverstanden bin?!

Das Gute ist, dass ich Dank der Firma meines Nebenjobs schwarz auf weiß Beweise habe, dass ich die Stunden umgeschrieben habe und am 20.12.17 während der Arbeitszeit im Ausbildungsbetrieb NICHT nebenjoblich tätig war. Außerdem beweißt ein Whats-App-Chat in der Gruppe des Nebenjobs, dass wir ausgemacht hatten diese Stunden auf einen anderen Tag zu schreiben und das ganz eindeutig! So mit ist der Kündigungsgrund meiner Meinung nach nichtig, da es klare Beweise und Zeugen gibt.

Meine Fragen an Euch: Wie sieht die rechtliche Lage für mich aus? Ein Telefonat mit einem Mitarbeiter der IHK sagte ich müsste Beweise liefern, die habe ich. Was hat es mit der Empfangsbestätigung auf sich? Wurde ich übern Tisch gezogen? Und wenn ja, ist das nicht vorsätzliche Täuschung des Chefs, also Betrug?

Ich bin über jeden Rat sehr dankbar!

PS: Ich hab nur auf dem Exemplar vom Chef unterschrieben.

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Kündigung, Recht, Gesetz, Ausbildung und Studium