Der Denkfehler liegt in der Anwendung der Potenzgesetze. Genauer gesagt liegt es daran, dass die Potenzgesetze nicht für alle Werte von x gelten, insbesondere nicht für negative x.
Um das zu sehen, betrachten wir die ursprüngliche Funktion f(x) = (x^2)^0.5 = |x|. Der Ausdruck (x^2)^0.5 gibt die positive Wurzel von x^2 zurück, d.h. für x >= 0 ist f(x) = x. Für negative Werte von x gilt jedoch, dass (x^2)^0.5 = |-x| = |x|, da das Quadrat eines negativen Wertes positiv ist.
Wenn Sie nun versuchen, die Potenzgesetze auf die Funktion f(x) = (x^2)^0.5 anzuwenden und sie umschreiben als f(x) = x^(2*0.5) = x^1 = x, verlieren Sie die Information darüber, ob x positiv oder negativ ist, da für beide Fälle dasselbe Ergebnis herauskommt. Daher erhalten Sie für negative Werte von x ein falsches Ergebnis, nämlich f(x) = x anstatt f(x) = |x|.
In der Tat gelten die Potenzgesetze nur für positive Basen, da für negative Basen die Regeln der komplexen Zahlen angewendet werden müssen, um die Potenz zu berechnen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die ursprüngliche Funktion f(x) = (x^2)^0.5 = |x| korrekt ist und dass die Anwendung der Potenzgesetze in diesem Fall zu einem falschen Ergebnis führt, insbesondere für negative Werte von x.