Also billig bleiben wird da schwierig.

Es gibt da eine Möglichkeit für die älteren GoPros über die Software WiGo https://cam-do.com/products/wigo-gopro-wifi-controller-for-windows an die Stream URL zu kommen. Die könnte man dann in OBS einfügen als Medienquelle.

Ansonsten bleibt dir wohl nur die Möglichkeit über eine HDMI Capture Card und Videosender(z.b. das HeroCast System), das wird aber teuer.