Web-Entwickler nennt man die Leute die für den Teil wie Programmierung und Applikationen zuständig sind.
Screendesigner gestalten wie der Name schon sagt das Screendesign (Layout, Struktur etc) kümmern sich aber nicht um die Programmierung.
Grafiker erstellen die Grafiken.
Ein Webdesigner ist meistens eine Art Allrounder aus diesen Gebieten. Hauptsächliche Spezialisierung liegt auf Dingen wie HTML, CSS, Usability im Web, Browser-Darstellung etc.
Eine Ausbildung ist auf jedenfall empfehlenswert, ansonsten reicht es meiner Meinung nach auch aus sich sehr (!) intensiv mit der Materie zu befassen, eine Kreative Ader zu haben und sich eine Menge guter (!) Fachliteratur zu Gemüte zu führen.
Ich spreche als freiberuflicher Webdesigner aus Erfahrung.