Ich warne dich am besten schon im Vorraus, die Antwort wird recht ausführlich...
Die grundlegende Formel für mechanische Schwingungen ist die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung. Sie lautet:
m * d^2x/dt^2 + k * x = 0
In dieser Gleichung repräsentiert x die Auslenkung des schwingenden Objekts, m die Masse des Objekts und k die Federkonstante, die die Stärke der rücktreibenden Kraft angibt. Die Ableitung nach der Zeit (t) gibt die Geschwindigkeit (v) und die zweite Ableitung nach der Zeit gibt die Beschleunigung (a) des Objekts an.
Die Lösung dieser Differentialgleichung ergibt eine harmonische Schwingung mit einer bestimmten Frequenz (f) und Amplitude (A). Die allgemeine Lösung lautet:
x(t) = A * cos(2πft + φ)
Hierbei repräsentiert φ die Phasenverschiebung, die den Startpunkt der Schwingung beeinflusst.
Für gedämpfte Schwingungen, bei denen Energieverluste auftreten, wird die Differentialgleichung um einen Dämpfungsterm erweitert:
m * d^2x/dt^2 + γ * dx/dt + k * x = 0
In dieser Gleichung repräsentiert γ den Dämpfungskoeffizienten, der den Grad der Dämpfung angibt. Die Lösung für gedämpfte Schwingungen ist komplexer und kann exponentiell abklingen.
Es gibt auch erzwungene Schwingungen, bei denen eine externe periodische Kraft auf das schwingende System einwirkt. In diesem Fall lautet die Differentialgleichung:
m * d^2x/dt^2 + γ * dx/dt + k * x = F(t)
Hierbei repräsentiert F(t) die externe Kraft als Funktion der Zeit.
Hier noch eine mögliche Lösung:
Um den maximalen Auslenkwinkel D_max zu berechnen, können wir die Gesetze der mechanischen Schwingungen anwenden. In diesem Fall handelt es sich um eine gedämpfte Schwingung aufgrund des abrupten Stopps der Laufkatze. Wir können den maximalen Auslenkwinkel mit der Formel für die Amplitude einer gedämpften Schwingung berechnen:
D_max = D_0 * e^(-λt)
Dabei ist D_0 der Anfangsauslenkwinkel, λ der Dämpfungskoeffizient und t die Zeit seit dem Stoppen der Laufkatze.
Zunächst müssen wir den Dämpfungskoeffizienten λ berechnen. Dazu verwenden wir die Formel:
λ = (1/2) * γ
γ ist die Dämpfungsrate, die sich aus dem Verhältnis von Reibungskraft zu Masse ergibt. Da die Reibungsverluste vernachlässigt werden können, setzen wir γ = 0.
Da der Wagen gestoppt wird, wirkt eine rücktreibende Kraft auf die Last. Diese Kraft ergibt sich aus dem Gewicht der Last und dem Seil. Die rücktreibende Kraft F ist gegeben durch:
F = m * g * sin(D)
Hierbei ist m die Masse der Last, g die Erdbeschleunigung und D der Auslenkwinkel.
Die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung D. Die Proportionalitätskonstante wird als Federkonstante k bezeichnet. Da wir die Masse des Stahlseils vernachlässigen, kann k als konstant betrachtet werden. Somit gilt:
F = -k * D
Setzen wir die Gleichungen für F gleich:
m * g * sin(D) = -k * D
Um D_max zu berechnen, müssen wir die Gleichung numerisch lösen. Dafür verwenden wir die gegebenen Werte: m = 500 kg, g = 9,81 m/s^2 und v = 1 m/s.
Ich hoffe, dass ich es einigermaßen verständlich ausdrückte! :)
