Ich erkläre es mal aus Branchensicht (bin in der Aufzugsbranche). Zwar sagt man umgangssprachlich Fahrstuhl, aber ein Fahrstuhl ist eher ein Treppenlift. Das Wort ist daher in der Branche verpönt.
Wir sagen Aufzug zu einem Gerät das linear in einer Kabine oder einer Plattform (bedingt) nach oben, unten und in die Schräge geht. Zur Not auch Horizontal.
Wenn wir nun die Länder betrachten in denen man Deutsch spricht, dann ist das so:
Deutschland: Aufzug
Schweiz: Lift, Aufzug
Österreich: Lift, Aufzug
UK Englisch: Lift
US Englisch Elevator
In Deutschland teilt man also klassisch auf in:
Klassische Aufzüge
Homelifte, Privataufzüge
Treppenlifte
Plattformlifte
Sonstige Konsorten
Wer sich tiefer dafür interessiert kann die Begriffe einfach googlen oder sich mir bemerkbar machen :)