In der numerischen Mathematik heißt ein Verfahren stabil, wenn es gegenüber kleinen Störungen der Daten unempfindlich ist. Insbesondere bedeutet dies, dass sich Rundungsfehler nicht zu stark auf die Berechnung auswirken. Man unterscheidet in der Numerik hierbei Kondition, Stabilität und Konsistenz, die untereinander stark verwandt sind. Stabilität ist dabei eine Eigenschaft des Algorithmus und die Kondition eine Eigenschaft des Problems. Die Beziehung zwischen diesen Größen lässt sich wie folgt beschreiben:

Stabilität: Wie stark schwankt der numerische Algorithmus bei Störung?

Kondition: Wie stark schwankt das Problem bei Störung?

Konsistenz: Wie gut löst der Algorithmus (mit exakter Eingabe) tatsächlich das Problem?

Konvergenz: Wie gut löst der gestörte Algorithmus tatsächlich das Problem?

Also beschreibt die Stabilität die Robustheit des numerischen Verfahrens gegenüber Störungen in den Eingabedaten, insbesondere bedeutet dies, dass sich Rundungsfehler nicht summieren und zu Störungen in der Lösung führen. Die Quantifizierung des Begriffes ist jedoch nach Problem und verwendeter Norm unterschiedlich.

Im Regelfall folgt aus Stabilität und Konsistenz (manchmal noch mit einer kleinen Zusatzvoraussetzung) die Konvergenz der numerischen Lösung gegen die analytische Lösung, da sowohl die Fehler der Eingabedaten als auch die Fehler durch die Diskretisierung des Problems gedämpft werden.

Ein stabiles Sortierverfahren ist ein Sortieralgorithmus, der die Reihenfolge der Datensätze, deren Sortierschlüssel gleich sind, bewahrt.

Wenn bspw. eine Liste alphabetisch sortierter Personendateien nach dem Geburtsdatum neu sortiert wird, dann bleiben unter einem stabilen Sortierverfahren alle Personen mit gleichem Geburtsdatum alphabetisch sortiert.

Will man mit einem instabilen Sortierverfahren, etwa Quicksort, sortieren und dabei die Reihenfolge der Datensätze mit gleichem Schlüssel beibehalten, so kann man sich damit behelfen, dass man die Datensätze um eine Reihenfolgenummer erweitert und diesem Feld den niedrigsten Rang im Sortierschlüssel gibt. Weniger aufwändig ist es aber, ein stabiles Sortierverfahren zu benutzen.

Stabile und instabile Sortierverfahren verhalten sich gleich, wenn die Multimenge der Schlüssel in der Eingabe eine Menge ist, es also keine Duplikate unter den Schlüsseln gibt; ebenso, wenn Datensätze mit gleichem Schlüssel in keiner Weise unterscheidbar sind – beispielsweise, weil der Schlüssel den ganzen Datensatz umfasst. Eine Multimenge von Zahlen oder Namen etwa kann man mit einem stabilen oder instabilen Sortierverfahren sortieren, das Ergebnis ist immer gleich

Stabiles oder instabiles Sortierverfahren:

  4       1
  3       2
  5       3
  3   →   3
  2       3
  1       4
  3       5

Stabiles oder instabiles Sortierverfahren (alphabetisch):

  Carla        Annette
  Annette  →   Birgit
  Birgit       Carla    

Kombiniert man jedoch etwa Namen und Zahlen zu je einem Datensatz und sortiert nur nach einem Teilschlüssel, etwa nach Zahlen, dann existieren bei gleichen Schlüsseln verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge. Ein stabiles Verfahren wählt diejenige Reihenfolge, die bei gleichen Schlüsseln die Originalreihenfolge der Namen beibehält, etwa

Stabiles Sortierverfahren nach Zahlen:

  1 Anton       1 Anton       
  4 Karl        1 Paul
  3 Otto        3 Otto
  5 Bernd   →   3 Herbert
  3 Herbert     4 Karl
  8 Alfred      5 Bernd
  1 Paul        8 Alfred

Instabiles Sortierverfahren nach Zahlen:

  1 Anton        1 Paul         1 Anton        1 Paul
  4 Karl         1 Anton        1 Paul         1 Anton
  3 Otto         3 Otto         3 Herbert      3 Herbert
  5 Bernd   →    3 Herbert oder 3 Otto    oder 3 Otto
  3 Herbert      4 Karl         4 Karl         4 Karl
  8 Alfred       5 Bernd        5 Bernd        5 Bernd
  1 Paul         8 Alfred       8 Alfred       8 Alfred

Bei instabiler Sortierung kann Paul vor Anton oder Herbert vor Otto stehen.

Beste Grüße der Informatiker

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