Frage Chatgpt:

Um das Wachstum der Alge mithilfe einer Exponentialfunktion zu beschreiben, verwenden wir die allgemeine Form einer exponentiellen Funktion:

ℎ(�)=�⋅��

h(t)=a⋅bt

Hierbei ist:

• ℎ(�)
• h(t) die Höhe der Alge zur Zeit �
• t,
• �
• a der Anfangswert (die Höhe zu einem bestimmten Zeitpunkt),
• �
• b die Wachstumsrate und
• �
• t die Zeit.

Gegeben sind die Werte:

• Nach 2 Wochen (�=2
• t=2) ist die Höhe ℎ(2)=20
• h(2)=20 cm.
• Nach 4 Wochen (�=4
• t=4) ist die Höhe ℎ(4)=80
• h(4)=80 cm.

Setzen wir diese Werte in die allgemeine Form der Exponentialfunktion ein:

ℎ(2)=�⋅�2=20

h(2)=a⋅b2

=20

ℎ(4)=�⋅�4=80

h(4)=a⋅b4

=80

Teilen wir die beiden Gleichungen, um die Wachstumsrate (�

b) zu eliminieren:

ℎ(4)ℎ(2)=�⋅�4�⋅�2

h(2)

h(4)

​=a⋅b2

a⋅b4

​

8020=�4�2

20

80

​=b2

b4

​

4=�2

4=b2

�=2

b=2

Nun können wir die Wachstumsrate (�=2

b=2) in eine der Gleichungen einsetzen, um den Anfangswert (�

a) zu finden. Verwenden wir die erste Gleichung:

20=�⋅22

20=a⋅22

20=4�

20=4a

�=5

a=5

Die Exponentialfunktion lautet also:

ℎ(�)=5⋅2�

h(t)=5⋅2t

Jetzt können wir die Höhe der Alge zu Beginn der Beobachtung (�=0

t=0) und nach 5 1/2 Wochen (�=5.5

t=5.5) berechnen:

ℎ(0)=5⋅20=5⋅1=5

h(0)=5⋅20

=5⋅1=5 (Höhe zu Beginn)

ℎ(5.5)=5⋅25.5≈5⋅45.25≈226.25

h(5.5)=5⋅25.5

≈5⋅45.25≈226.25 (Höhe nach 5 1/2 Wochen)

Die Höhe der Alge zu Beginn der Beobachtung beträgt 5 cm, und nach 5 1/2 Wochen beträgt sie ungefähr 226.25 cm.