Ich habe folgendes Problem:

Ab dem 23.05.23 war ich offiziell, da ich 23 Jahr alt geworden bin, bis zum 11.06.23 nicht krankenverichert. Am 12.09.23 habe ich eine Vollzeitstelle als Kellnerin angefangen und diese zum 10.09.23 beendet. Am 01.10.23 begann mein Vollzeitstudium, in dem ich eigentlich einen Anspruch auf Aufnahme in die Familienversicherung hätte. Meine Krankenversicherung verlangte erst 700€ für die Zeit vom 23.05 - 11.06 (mir wurde die Beitragsbemessungsgrenze von ca. 5000€ monatl. angerechnet) Nachdem ich mehrfach anrief, wurde mir versichert, dass es sich um eine Übergangszeit von >2 Wochen handelt und ich deswegen nichts zu zahlen hätte (zumal ich in dieser Zeit lediglich mein Kindergeld als Einkommen hatte!) Einkommensnachweise wurden auch abgegeben. Auch eine Immatrikulationsbescheinigung und ein Antrag auf Aufnahme in die Familienvers. wurde mittlerweile dreifach abgegeben, da ich immer noch nicht versichert wurde. Nun möchte die AOK knappe 4000€ von mir für den Zeitraum vom 10.09 -30.09 von mir. Ein weiteres Nachfragen ergab dass ich KEINEN nachgehenden Leistungsanspruch habe für den Zeitraum, da dieses wohl nur greift, wenn man von einem ins nächste Beschäftigungsverhältnis wechselt und die Übergangszeit unter einem Monat ist. Deswegen soll ich nun das Mindeste - laut Telefondame etwa 200 € je Übergangszeitraum (also zwei mal) - zahlen. Ich kann mir absolut nicht vorstellen, dass man Arbeiter hier nicht zur Kasse bittet, Studenten allerdings schon. Ich warte noch auf mein Bafög, habe also seit Studienbeginn aktuell überhaupt kein Einkommen und lebe von Leihgaben meiner Familie. Wichtig zu erwähnen ist hier wohl noch, dass ich in meiner „unversicherten Zeit“ im September den Krankenwagen für mich rufen musste, da ich einen Treppensturz hatte.
Kennt sich jemand hier aus und kann mir mehr über den nachgehenden Leistungsanspruch erzählen bzw. mich über meine Möglichkeiten aufklären?
Danke im Voraus!