Nein, das wäre nicht gültig.
Beide Elternteile haben die alleinige Alltagssorge und entscheiden über solche Dinge, während sich das Kind beim jeweiligen Elternteil aufhält allein.
Das heißt, der Vater hat das alleinige Recht darüber zu entscheiden und nur seine Unterschrift ist wirksam. (Allerdings: wer will das kontrollieren? An der Discokasse wird keiner danach fragen...)
Im allerschlimmsten Falle die Polizei rufen, wenn die Tochter nicht wie vereinbart nach Hause kommt. In wie fern das Konsequenzen für die Mutter hat, wenn sie unberechtigterweise den Zettel unterschrieben hat, kann ich nicht abschätzen. Zur Liebe der Tochter sollte aber der Vater mit der Mutter sprechen und sie sollten als Eltern auf einer Ebene zusammenarbeiten, sodass solch ein Ausspielen der Eltern gar nicht möglich wird.
(Die Mutter hat nur das Recht solch eine Unterschrift zu geben, wenn die Tochter während des Umgangs bei ihr befindet. Da hätte der Vater dann auch nicht das Recht das abzulehnen, dann darf die Mutter allein entscheiden.)